Zariski, topologia di
Zariski, topologia di
Zariski, topologia di in geometria algebrica, topologia definita sullo spazio affine A(Kn) (con K campo e n intero positivo) i cui chiusi sono gli insiemi del tipo V(S) = {x ∈ Kn : p(x) = 0, ∀p ∈ S}, dove S è un insieme qualsiasi di polinomi in n variabili a coefficienti in K. Tali insiemi sono detti insiemi algebrici affini. Poiché V(S) = V((S)), dove (S) è l’ → ideale generato da S nell’anello dei polinomi in n variabili a coefficienti in K, per ottenere tutti gli insiemi algebrici affini basta considerare quelli associati a ideali. La topologia indotta da Kn su ogni insieme algebrico affine è anch’essa detta topologia di Zariski.
Analogamente, si definisce la topologia di Zariski sullo spazio proiettivo P(Kn) come la topologia i cui chiusi sono gli insiemi algebrici proiettivi, cioè gli insiemi del tipo V(S) = {x ∈ Kn : p(x) = 0, ∀p ∈ S}, dove S è un qualsiasi insieme formato da polinomi omogenei (anche in questo caso basta considerare gli ideali omogenei).
Con la locuzione topologia di Zariski si indica anche la topologia definita sullo spettro Spec(X) di un anello commutativo unitario X i cui chiusi sono gli insiemi della forma V(I) = {P ∈ Spec(X): P ⊇ I}, dove I è un qualsiasi ideale di A (→ anello, spettro di un).