topologia

topologia

Convergenza e continuità, così come le operazioni algebriche sui numeri reali e complessi, sono nozioni fondamentali nell’analisi matematica classica. La loro generalizzazione al caso di spazi astratti ha permesso di estendere enormemente l’applicabilità dei metodi di quest’ultima e costituisce la base della moderna analisi funzionale. È questo lo scopo della topologia generale, branca dell matematica emersa agli inizi del XX sec. dai lavori di Maurice Fréchet, Felix Hausdorff e Kazimierz Kuratowski. Concetto chiave di questa disciplina è quello di struttura topologica, introdotto da ciascuno dei tre studiosi in forme diverse ma equivalenti. Oggi la formulazione più comune è in termini di un sistema di insiemi aperti (per un determinato spazio X), ovvero una famiglia F di sottoinsiemi di X che soddisfi le condizioni seguenti: (a) X,∅ appartengono a F (∅ indica l’insieme vuoto); (b) se O₁ e O₂ appartengono a F, allora anche O₁∩O₂ appartiene a F; (c) se O_λ appartiene a F (λ in Δ, insieme di indici non necessariamente numerabile), allora U_λ∈Δ appartiene a F. Una struttura topologica (o più brevemente una topologia) su uno spazio X è un sistema di aperti di X, uno spazio topologico è uno spazio dotato di una topologia. Per ogni elemento x di X, un sottoinsieme U di X è detto intorno di x se esiste un insieme aperto O tale che x∈O⊂X. Il complemento di un aperto O (ovvero l’insieme XO) è detto insieme chiuso e dalla proprietà (c) segue che qualunque intersezione di chiusi è ancora un insieme chiuso. Dato un qualunque sottoinsieme A di X, l’intersezione Ā della famiglia di tutti i chiusi che lo contengono è detta chiusura di A e i suoi elementi punti di aderenza di A. Dalla definizione risulta evidente che Ā è il più piccolo chiuso che contiene A. Dualmente, per ogni A esiste un più piccolo aperto in esso contenuto, detto interno di A e indicato con il simbolo A°. Un esempio di topologia su uno spazio X è la topologia discreta: ogni sottoinsieme di X (e in particolare ogni elemento) è considerato aperto e X stesso si dice spazio topologico discreto. In questo spazio Ā =A°=A per ogni sottoinsieme A e A è un intorno di ognuno dei suoi elementi. ricordiamo infine la topologia banale; in questo caso gli unici aperti sono X e Ø.

→ Analisi matematica