Il Contributo italiano alla storia del Pensiero: Scienze (2013)
La logica e i fondamenti della matematica tra Ottocento e Novecento
Mario Piazza
I fondamenti della geometria
Nella seconda metà dell’Ottocento, in tutta Europa il baricentro delle ricerche geometriche [...] teorie, si fa araldo di una visione unificante della matematica che si articola su di una classificazione di strutture (algebriche, d’ordine, topologiche), laddove Peano non ha un’ambizione analoga: la matematica che il Formulario riscrive appartiene ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. L'emergere della concezione strutturale in algebra
Leo Corry
L'emergere della concezione strutturale in algebra
Il punto di vista strutturale [...] i campi, i gruppi e gli ideali.
La vera affinità concettuale degli ideali di Dedekind non riguarda le altre strutturealgebriche che egli esamina, bensì due concetti da lui introdotti in tutt'altro contesto nei due celebri lavori sulla continuità e ...
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topologia
topologia termine che indica sia un settore disciplinare della matematica sia la famiglia (o collezione) di insiemi aperti (o semplicemente aperti) che definisce uno → spazio topologico.
La [...] sono per esempio la dimensione o il numero delle parti connesse di uno spazio topologico; sono invarianti anche le strutturealgebriche come i gruppi di omologia e di omotopia).
Oltre alla topologia generale, esistono altri rami della topologia che ...
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metamatematica
Parte della logica matematica che ha per oggetto l’analisi formale delle dimostrazioni e delle strutture matematiche. Le sue principali branche sono quindi la teoria della dimostrazione [...] una partizione in classi di equivalenza [A], [B], ... Nell’insieme L di queste classi introduciamo una strutturaalgebrica definendo l’operazione unaria ′ e le due operazioni binarie ⋃ e ⋂ mediante le definizioni:
[A]' = [¬ A] (complementazione ...
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analisi funzionale
analisi funzionale settore disciplinare che ha come oggetto di studio le funzioni o famiglie di funzioni, viste come elementi di opportuni spazi astratti, detti appunto spazi funzionali, [...] spazi e che dividono tale disciplina nei due settori principali. È possibile dotare gli spazi funzionali di strutturealgebriche e topologiche (quali la struttura di spazio vettoriale, spazio metrico, spazio normato) ed è possibile estendere a essi i ...
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algebra combinatoria
algebra combinatoria o combinatoria algebrica, settore di studi che utilizza metodi combinatori, cioè di ordinamento e conteggio, per lo studio di problemi algebrici o, viceversa, [...] nell’analisi dei grafi parziali estratti da → grafi (che si generalizzano in modo naturale alle → matroidi). Viceversa, strutturealgebriche, tipicamente i gruppi, sono impiegate per analizzare gli isomorfismi o gli automorfismi di reticoli o grafi e ...
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compattificazione
compattificazione procedimento mediante il quale a partire da uno spazio topologico X si costruisce una sua estensione compatta. Se X è localmente compatto, il procedimento si riduce [...] sfera e la retta che congiunge P con il punto (0, 0, 2). Al punto (0, 0, 2) è associata nella corrispondenza la retta all’infinito del piano xy. Come per la metrica, anche le strutturealgebriche di R e C non sono compatibili con questo ampliamento. ...
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semantica
semantica parte della logica che si occupa di fissare le regole per la interpretazione delle formule di un linguaggio formale in modo da attribuire loro un significato. Per gli usuali sistemi [...] riferimento esterno a una teoria è quindi fondamentalmente una → struttura. Alla base dell’interpretazione di una teoria matematica, e perché in esse si fa riferimento a classi di strutturealgebriche o «mondi possibili», fra le quali sono variamente ...
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algebra universale
algebra universale settore disciplinare, parte dell’algebra e al tempo stesso sua evoluzione, che studia le proprietà comuni alle → strutturealgebriche. Ciò avviene assumendo un punto [...] siano sempre soddisfatte le seguenti identità:
Si procede in modo analogo per monoidi, anelli, reticoli e altre strutturealgebriche o d’ordine e si danno definizioni comuni per isomorfismo, omomorfismo, immersione o altri concetti utilizzati in ...
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endomorfismo
endomorfismo in algebra, morfismo di un insieme A, dotato di un’opportuna struttura, in sé stesso. In riferimento a strutturealgebriche come spazi vettoriali, gruppi o anelli, per endomorfismo [...] un endomorfismo è un’applicazione di A in sé stesso che ne conserva la strutturaalgebrica: se φ: A → A è un endomorfismo e se ∗ è una delle operazioni che determinano la strutturaalgebrica di A, allora, per ogni coppia di elementi a e b di A, vale ...
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algebra
àlgebra s. f. [dal lat. mediev. algebra, e questo dall’arabo al-giabr, propr. «restaurazione», e quindi «riduzione» (dapprima nel sign. medico-chirurgico, e poi in quello matematico), che compare la prima volta in un trattato arabo...
struttura
s. f. [dal lat. structura, der. di struĕre «costruire, ammassare», part. pass. structus]. – In senso ampio, la costituzione e la distribuzione degli elementi che, in rapporto di correlazione e d’interdipendenza funzionale, formano...