Riemann, spazio di

Riemann, spazio di

Riemann, spazio di o varietà riemanniana, spazio metrico n-dimensionale in cui la metrica è espressa attraverso un campo tensoriale associato a ogni punto dello spazio (→ tensore). A ogni punto dello spazio è associato un tensore metrico g_ij tale che il quadrato di uno spostamento infinitesimo dal punto è dato dalla forma di secondo grado simmetrica:

In generale, se lo spazio non è euclideo, le funzioni dipendono dal punto. In uno spazio euclideo, si ha g_ij = δ_ij, dove δ_ij è il simbolo di → Kronecker, e quindi la precedente formula esprime il teorema di Pitagora, generalizzato a n dimensioni. In uno spazio di Riemann non euclideo, a partire dalla formula precedente si definisce un tensore di curvatura, che può variare nei diversi punti, analogo alla curvatura di Gauss per una superficie (→ Theorema Egregium). I più semplici spazi di Riemann sono quelli a curvatura costante, quali lo spazio euclideo (a curvatura nulla), quello definito dalla geometria ellittica di Riemann (a curvatura positiva) e quello definito dalla geometria iperbolica di Lobačevskij (a curvatura negativa). Le intuizioni di Riemann portano alla considerazione di uno spazio fisico che per distanze relativamente piccole si può considerare euclideo, mentre per grandi distanze ipotizzano uno “spazio curvo” a curvatura positiva e che sia finito anche se illimitato. Esse sono state alla base del modello dello spazio-tempo quadridimensionale di Albert Einstein e quindi alla base della formulazione della teoria della relatività generale.