spazio proiettivo
spazio proiettivo ambiente geometrico in cui gli elementi che, in uno spazio affine, sono all’infinito (punti impropri, rette improprie ecc.) non sono distinguibili da quelli al finito; scomparendo tale distinzione, svaniscono in tale ambiente le nozioni metriche e quella di parallelismo. Lo spazio proiettivo generalizza e formalizza la situazione che si realizza quando un raggio è proiettato su un piano e vi lascia come traccia un punto. È per questo che i punti di uno spazio proiettivo sono definiti come rette di uno spazio vettoriale.
Uno spazio proiettivo associato a un K-spazio vettoriale V, indicato con P(V) o semplicemente con V, è l’insieme i cui elementi, detti punti di P, sono i sottospazi di dimensione 1 di V. Se K = R (rispettivamente, C) lo spazio è detto spazio proiettivo reale (rispettivamente, complesso). La dimensione di P(V) è dim(V) − 1. A seconda che sia dim(V) = 3, 2, 1 si ha rispettivamente un piano proiettivo (di dimensione 2), una retta proiettiva (di dimensione 1), un punto (di dimensione 0).
Ogni vettore v di V, non nullo, genera il sottospazio {kv: k ∈ K} di dimensione 1, per cui due vettori non nulli v e w definiscono lo stesso punto se esiste k ∈ K, con k ≠ 0, tale che w = kv.
Il caso più rilevante di spazio proiettivo è quello in cui lo spazio vettoriale è Kn+1 formato dalle (n + 1)-ple ordinate di elementi di un campo K (reale o complesso). In tale caso P(Kn+1) si denota anche con P n ed è detto spazio proiettivo numerico. Nello spazio K0n+1, ottenuto privando Kn+1 dell’origine (ed escludendo quindi (0, 0, …, 0)), si considera la relazione d’equivalenza per cui (x0, x1, ..., xn) = (y0, y1, ..., yn) se e solo se esiste uno scalare non nullo k tale che yi = kxi per ogni i = 0, …, n. Le classi di equivalenza sono i sottospazi di dimensione 1 di Kn+1 privati dell’origine e quindi esiste una biiezione tra i punti dello spazio proiettivo e gli elementi dello spazio quoziente rispetto alla relazione stessa. Poiché un elemento di K0n+1 è determinato dalle sue coordinate, un elemento dello spazio proiettivo è determinato dalle stesse, definite a meno di un fattore non nullo, che costituiscono un sistema di coordinate omogenee. Se lo spazio vettoriale cui è associato lo spazio proiettivo è dotato di una topologia, se ne può dedurre una, per passaggio al quoziente, sullo spazio proiettivo corrispondente. Risulta che lo spazio proiettivo reale P n è omeomorfo alla sfera dello spazio Rn+1 ove si identifichino i punti diametralmente opposti (in particolare, la retta proiettiva, spazio proiettivo di dimensione 1, è omeomorfa a una circonferenza) ed è compatto e connesso.