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spazio proiettivo

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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spazio proiettivo

Luca Tomassini

Dati due insiemi P,Q e una relazione R⊂P×Q, consideriamo la tripla C={P,Q,R} e chiamiamo ogni elemento di P un punto e ogni elemento di Q una linea. Se (p,l)∈R è valida per un punto p e una linea l, si dice che la linea l contiene il punto p. Se due linee contengono uno stesso punto p, si dice che esse si intersecano in p. Quando più punti sono contenuti in una stessa linea, essi sono detti collineari, quando molte linee contengono un punto esse sono dette concorrenti. In geometria proiettiva sulla tripla C sono imposti i seguenti assiomi: (a) esiste una e una sola linea che contiene due punti distinti; (b) dati i punti non collineari p1,p2 e p3 e i punti q1 e q2 tali che {p1,p2,q1} e {p1,p3,q2} sono triple collineari, le linee passanti per p2,p3 e q1,q2 si intersecano in un punto p; (c) ogni linea contiene almeno tre punti distinti. Una tripla C che soddisfi gli assiomi (a) e (b) è detta geometria proiettiva generalizzata, se anche (c) è verificato si parla allora di geometria proiettiva. L’insieme di tutti i punti contenuti in una linea è detto immagine puntuale e la linea stessa è detta base. In geometria proiettiva esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle linee e quello delle immagini puntuali e quindi una linea l∈Q può essere considerata come un sottoinsieme di P. La relazione (p,l)∈R significa allora propriamente che il punto p appartiene alla linea l. Sia ora S un sottoinsieme di P e siano p1, p2 due punti in S. Se l’intera linea passante per essi è contenuta in S allora S stesso è detto sottospazio di P. Punti e linee sono evidentemente sottospazi. Talvolta si impone a C un ulteriore assioma: (d) Esiste un insieme infinito di punti tale che ogni sottospazio che li contiene contiene P stesso. Una geometria proiettiva che soddisfi (d) è detta finito-dimensionale e in questo caso l’insieme P è detto spazio proiettivo. Consideriamo ora successioni di sottospazi del tipo P/⊇Pn−1/⊇.../⊇P0≠∅, dove ∅ indica l’insieme vuoto e le inclusioni sono strette. Il numero n della più breve di tali successioni è detto dimensione dello spazio proiettivo P. Un sottospazio di dimensione 1 è una linea, un sottospazio di dimensione 2 è detto piano proiettivo. Gli esempi principali di spazi proiettivi n-dimensionali sono gli insiemi ℙn(ℝ) (rispettivamente ℙn(ℂ)) di tutte le linee reali (rispettivamente complesse) passanti per l’origine di ℝn+1 (rispettivamente ℝn+1).

→ Invarianti, teoria degli

Vedi anche
geometria In senso ampio e generico, ramo della matematica che studia lo spazio e le figure spaziali. 1. Cenni storici 1.1 L’antichità. - L’origine della geometria è legata a concreti problemi di misurazione del terreno (nacque a scopi agrimensori nella zona del delta del Nilo); si trattava quindi essenzialmente ... varietà varietà agraria Entità comprese in una specie (dette anche spesso razze). Per la nomenclatura delle piante coltivate il Congresso internazionale di orticoltura del 1952 stabilì alcune norme e propose il termine cultivar, che si riferisce a un’entità subordinata alla specie; con ciò fu abolito per ... retta Ente geometrico fondamentale, in genere assunto come primitivo nelle trattazioni assiomatiche. astronomia retta d’altezza Proiezione di un tratto del cerchio d’altezza (➔ cerchio) sopra una carta di Mercatore. Le retta d’altezza sono utilizzate per le determinazioni del punto. economia retta del ... piano Superficie piana, generalmente orizzontale, ma anche verticale o variamente inclinata. ● Disegno, rappresentazione grafica di opere naturali o artificiali, di un luogo, di un terreno, o di un complesso di elementi predisposti secondo una precisa collocazione, che, accompagnata di solito da opportune ...
Categorie
  • GEOMETRIA in Matematica
Tag
  • ASSIOMA
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    spazio proiettivo ambiente geometrico in cui gli elementi che, in uno spazio affine, sono all’infinito (punti impropri, rette improprie ecc.) non sono distinguibili da quelli al finito; scomparendo tale distinzione, svaniscono in tale ambiente le nozioni metriche e quella di parallelismo. Lo spazio ...
Vocabolario
spàzio
spazio spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...
proiettivo
proiettivo agg. [der. del lat. proiectus: v. proietto]. – 1. Genericam., che proietta, che ha forza di proiettare, che ha rapporto con una proiezione. In matematica, relativo all’operazione di proiezione (e anche a quella di sezione) e...
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