L'Ottocento: matematica. Il rigore in analisi
Umberto Botta
Il rigore in analisi
L'eredità di Lagrange
All'epoca della Rivoluzione francese, l'esigenza di formare una classe di ingegneri civili e militari [...] diario. Nel 1805 egli aveva affrontato il problema della convergenza della serie ipergeometrica
ottenuta da Euler come integrale di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine e nel 1813 aveva pubblicato i risultati ottenuti. La [12] era ...
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L'Ottocento: matematica. Equazioni differenziali alle derivate parziali
Thomas Archibald
Equazioni differenziali alle derivate parziali
Nel corso del XIX sec. la teoria delle funzioni di più variabili [...] e ciò perché le interpretazioni geometriche erano spesso complicate, soprattutto per quanto riguarda le equazioni differenziali. Iterare gli integrali per calcolare aree, volumi o forze esercitate tra corpi estesi era una pratica diffusa, quantunque ...
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La grande scienza. Teoria dei numeri
Anatolij A. Karatsuba
Teoria dei numeri
La teoria dei numeri o, adottando una locuzione di Carl Friedrich Gauss (1777-1855), l'aritmetica superiore, è lo studio [...] , Littlewood e Ramanujan rappresentarono, utilizzando la formula di Cauchy, il numero delle soluzioni di un'equazione diofantea come integrale della corrispondente funzione generatrice, ottenendo in alcuni casi rappresentazioni asintotiche per tali ...
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L'Eta dei Lumi: matematica. Le equazioni differenziali
Silvia Mazzone
Clara Silvia Roero
Le equazioni differenziali
E con la nascita del calcolo infinitesimale di Newton e di Leibniz, nella seconda [...] Riccati generalizzata
[48] dy=R(x)dx+P(x)ydx+Q(x)y2dx,
dimostra che, noti due integrali particolari, l'integrazione di tale equazione si può ricondurre alle quadrature. Euler presenta inoltre negli anni 1762-1763 una nuova dimostrazione per ricavare ...
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La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] di Laplace Δu(x)=0, le cui soluzioni sono dette funzioni 'armoniche', è l'equazione di Euler dell'integrale di Dirichlet. Poiché tale funzionale è convesso, se φ è abbastanza regolare le soluzioni del problema di minimo per D(u) con condizione ...
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Analisi non lineare: metodi variazionali
Antonio Ambrosetti
I primi problemi di calcolo delle variazioni si presentano quasi spontaneamente, anche nello studio della geometria elementare e hanno infatti [...] perché si tratta, anche nei casi più semplici, di un'equazione del secondo ordine nonlineare o di un'equazione alle derivate parziali. Per esempio, se vogliamo trovare il minimo dell'integrale di Dirichlet
[12] formule
tra le funzioni u: Ω ...
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L'Ottocento: matematica. Calcolo delle variazioni
Craig Fraser
Calcolo delle variazioni
Il problema di Euler
Nel 1744 Leonhard Euler formulò il problema principale del calcolo delle variazioni nei [...] e y del piano, è data dalla formula
Se la curva che unisce gli estremi a e b è un estremale dell'integrale [19], deve soddisfare l'equazione di Euler e la [20] si riduce alla
La [21] è la formula generale della variazione prima quando il secondo ...
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L'Ottocento: matematica. Equazioni differenziali ordinarie
Jeremy Gray
Equazioni differenziali ordinarie
Variabili reali
Durante il XVIII sec. i matematici avevano risolto un numero crescente di equazioni [...] sua forma attuale da Gauss il quale la mise in connessione con la nascente teoria degli integrali ellittici e delle funzioni ellittiche. L'equazione fu descritta nuovamente da Riemann nel 1857 come parte della sua formulazione della teoria delle ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Problemi di analisi complessa alla fine dell'Ottocento
Jeremy Gray
Problemi di analisi complessa alla fine dell'Ottocento
La teoria generale [...] olomorfa come una funzione che ha una derivata (non necessariamente continua); essa soddisfa perciò le equazioni di Cauchy-Riemann.
Il primo risultato importante è il teorema integrale di Cauchy, dimostrato con il metodo di Goursat. Segue la formula ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Calcolo delle variazioni
Craig Fraser
Mario Miranda
Calcolo delle variazioni
Tra il 1870 e il 1920 si assiste al consolidamento degli argomenti [...]
diventa
dove λ è un'opportuna funzione moltiplicatrice.
Combinando le equazioni di Euler per l'integrale [4] con y2 −y′1=0 si ottiene
cioè l'equazione di Euler per l'integrale [3], equazione che deve essere soddisfatta da una funzione y(x) che ...
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equazione
equazióne s. f. [dal lat. aequatio -onis, der. di aequare «uguagliare»]. – Propr., uguaglianza, uguagliamento, pareggiamento. Il termine, raro con uso generico (si adopera tuttavia, a volte, nel linguaggio letter. e in frasi di tono...
integrale
agg. e s. m. [dal lat. tardo integralis, der. di intĕger «integro, intero»]. – 1. agg., non com. Di elemento che fa parte di un tutto, che concorre alla costituzione di un intero (sinon. quindi di integrante): i corpi i. del mondo...