spazio di Hilbert
Arrigo Cellina
Per poter enunciare il teorema di Pitagora nel piano, occorre definire quando due vettori sono tra loro ortogonali; ciò si ottiene dalla nozione di prodotto scalare [...] in entrambe le variabili; (b) è simmetrica, cioè 〈a,b〉=〈b,a〉; (c) 〈a,a〉≥0 e 〈a,a〉=0 se e solo se a=0. Lo spazio si intende normato dalla norma ∥a∥=√〈a, a〉. Per es., lo spazioL2(Ω) delle classi di equivalenza delle funzioni a quadrato sommabile è uno ...
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Successione ordinata e continua di elementi, concreti e astratti, dello stesso genere.
Ecologia
Successione delle comunità che si sostituiscono l’una all’altra in una regione. Le comunità di transizione [...] pari risultano nulli tutti i bk, per una funzione dispari lo sono gli ak. Se f(x) è a quadrato sommabile, cioè appartiene allo spazioL2[0,2π], la ridotta n-esima Sn(x) della sua s. di Fourier rende minimo l’errore quadratico medio, cioè
∫2π0 ∣f(x ...
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somma In matematica, il risultato dell’ordinaria operazione di addizione o anche l’operazione stessa; in senso estensivo, si parla spesso di s. anche con riferimento a operazioni che soddisfano le proprietà [...] Lp(E) delle funzioni la cui potenza p-esima è sommabile, e in particolare lo spazioL2(E) delle funzioni di quadrato sommabile.
Per serie sommabile ➔ serie.
Nella teoria dei gruppi topologici, una famiglia (xi)i∈I di elementi del gruppo additivo ...
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Operatori, teoria degli
Helmut H. Schaefer e Manfred P. Wolff
Sommario: 1. Introduzione. 2. Operatori lineari fra spazi di dimensione finita. a) Generalità. b) Operatori hermitiani, normali e unitari. [...] vettoriale H su C così normato si dice ‛spazio di Hilbert' quando (H, ∥•∥) è completo (ossia è uno spazio di Banach). Si può mostrare che ‛ogni' spazio di Hilbert H è isometricamente isomorfo a uno spazioL2(μ) per una scelta opportuna di (X, Σ ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Le origini dell'analisi funzionale
Angus E. Taylor
Le origini dell'analisi funzionale
L'analisi funzionale acquista una precisa identità nel [...] importante, studiato da David Hilbert (1862-1943) da un punto di vista geometrico, è lo spaziol2 delle successioni {xn} di numeri per i quali è convergente la serie infinita
[1] ∣x1∣2+∣x2∣2+∣x3∣2+….
Il tedesco Erhard Schmidt (1876-1959), che scrisse ...
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Analisi matematica
Jean A. Dieudonné
Alcune delle idee fondamentali che sono alla base del calcolo risalgono ai Greci, ma il loro sviluppo sistematico iniziò soltanto nel XVII secolo. Alla fine di quel [...] il sottospazio di E che consiste delle x=∑nxn con xn∈En tali che ∑n∥T∙xn∥2〈+∞. Ciascuno degli En è allora isomorfo a uno spazioL2ℂ(Xn,μn), dove Xn è un sottoinsieme limitato di X e μn è una misura positiva su Xn, e la restrizione di T a En può ...
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Analisi non lineare: metodi variazionali
Antonio Ambrosetti
I primi problemi di calcolo delle variazioni si presentano quasi spontaneamente, anche nello studio della geometria elementare e hanno infatti [...] di Hilbert. Per esempio, se Ω è un aperto limitato di ℝn lo spazioL2(Ω) delle funzioni a quadrato sommabile (secondo Lebesgue) in Ω è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare (u∣v)=∫Ωu(x)v(x)dx.
Un funzionale su H è una applicazione J ...
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Equazioni funzionali
Jacques-Louis Lions
La teoria delle equazioni funzionali si è sviluppata a stretto contatto con i problemi via via sorti nelle varie scienze, a partire dalla meccanica, e dalla [...] esistono e sono anche assai numerose; per es., D è denso nello spazioL2(ℝn) delle funzioni a quadrato sommabile); seguendo Laurent Schwartz, si introduce in questo spazio 'molto piccolo' una topologia 'molto fine'. In tal modo una successione φj ...
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serie di Fourier
Luca Tomassini
L’espressione di una funzione f di una o più variabili reali per mezzo di un sistema di funzioni ortonormali. Più precisamente, sia F uno spazio vettoriale (completo) [...] Fourier trigonometrica. Il problema della convergenza della serie di Fourier in senso più forte che nella norma dello spazioL2([0,2π]) (per esempio della convergenza uniforme) qualora la funzione f possieda proprietà di regolarità (per esempio sia ...
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wavelet
Luca Tomassini
Una funzione del tempo f(t):ℝ→ℂ sufficientemente ben localizzata tanto nella variabile temporale che in frequenza. Questa richiesta si traduce in alcune proprietà di integrabilità [...] , esiste una formula di inversione
A partire da un wavelet madre g (t) è talvolta possibile definire una base dello spazioL2(ℝ,ℂ) delle funzioni a quadrato sommabile sulla retta reale e a valori complessi della forma
con j,k interi relativi. Un ...
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