Variazioni, calcolo delle
Giuseppe Buttazzo
Gianni Dal Maso e Ennio De Giorgi
SOMMARIO: 1. Introduzione. 2. Alcuni esempi storici: a) il problema isoperimetrico; b) il principio di Fermat e le leggi [...] espressa nel modo seguente: sia Fn una successione di funzionali definiti su U e a valori nella rettareale estesa −R, che si ottiene aggiungendo alla rettareale R i due punti + ∞ e - ∞. Si dice che Fn ‛Γ-converge' a un funzionale F, anch'esso ...
Leggi Tutto
Gruppi
GGeorge W. Mackey
di George W. Mackey
SOMMARIO: 1. Introduzione e storia. □ 2. Concetti fondamentali. □ 3. Anelli di endomorfismi e gruppi lineari. □ 4. La struttura dei gruppi finiti. □ 5. Gruppi [...] in Ω, si può supporre che le fI separino i punti di Ω; si può allora dimostrare che esiste, ed è essenzialmente unica, un'azione della rettareale su Ω la quale conserva μ ed è tale che fI([ω)t) = fI+t(a). Questa azione è ergodica ed è l'analogo dell ...
Leggi Tutto
La grande scienza. Geometria non commutativa
Alain Connes
Geometria non commutativa
Se si pensa che la geometria sia strettamente legata al nostro modello di spazio-tempo, allora la teoria generale [...] su ℬ. Lo spazio soggiacente è l'usuale spazio di Schwarz
[18] S(ℝ)={ξ,ξ(s)∈ℂ ∀s∈ℝ}
delle funzioni lisce sulla rettareale le cui derivate sono rapidamente convergenti. La struttura di modulo destro è data dall'azione dei generatori U,V:
[19] (ξU ...
Leggi Tutto
L'Ottocento: matematica. Equazioni differenziali alle derivate parziali
Thomas Archibald
Equazioni differenziali alle derivate parziali
Nel corso del XIX sec. la teoria delle funzioni di più variabili [...] utilizzato in modo così efficace nel calcolo di integrali definiti. Cauchy osservava che nel passare dalla rettareale al piano complesso una funzione di una variabile reale si trasforma in una di due variabili, e quindi, quando si integra, si ha a ...
Leggi Tutto
MMark Kac
di Mark Kac
SOMMARIO: 1. Preliminari. □ 2. Alcune sottigliezze matematiche. □ 3. Alcune classi generali di processi stocastici con esempi: a) processi di Markov con spazio degli stati finito [...] sulla misura spariscono e per Ω possiamo scegliere lo spazio prodotto ???OUT-R???×???OUT-R???×... (???OUT-R??? indica la rettareale) sul quale fissiamo la misura prodotto gaussiana.
L'estensione alla semiretta 0≤t〈∞ non presenta alcuna difficoltà.
3 ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Il Bourbakismo
Jean-Paul Pier
Il Bourbakismo
L'avvento e l'influenza di Bourbaki costituiscono uno dei fenomeni più sorprendenti nella matematica [...] si identificano con gli intervalli. Si può ora considerare il corpo topologico ℝ; si trascrivono le proprietà della rettareale ampliata
Segue uno studio delle funzioni numeriche, più specificamente di quelle che sono continue o semicontinue. Si ...
Leggi Tutto
Misura e integrazione
M. Evans Munroe
Introduzione
La nozione di integrale viene spesso introdotta considerando il problema di determinare l'area racchiusa da una curva, prendendo un limite di somme [...] ciò che si richiede per definire una misura specifica è una classe ϑ e una funzione τ. Sia f una funzione a valori reali sulla rettareale, monotona e continua a destra. Sia ϑ la classe degli intervalli aperti e poniamo τ[(a, b)]=f(b)−f(a). La misura ...
Leggi Tutto
La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] tipo
[2] F(u)=∫baf(x,u(x), u'(x))dx,
dove [a,b] è un intervallo della rettareale ℝ e f(x,y,η) è una funzione regolare di tre variabili reali. Dati due numeri reali α e β, si considera il problema di trovare un minimo di F(u) tra tutte le funzioni u ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Geometria differenziale
Jeremy Gray
Geometria differenziale
La geometria differenziale è lo studio dei problemi geometrici mediante i metodi [...] poi lo spazio di tutte le orbite dello spazio di partenza. Per esempio, nell'usuale azione del gruppo degli interi sulla rettareale due punti sono equivalenti se differiscono per un intero, e pertanto lo spazio delle orbite è parametrizzato da una ...
Leggi Tutto
Caos
Robert L. Devaney
Introduzione storica
Secondo l'accezione più comune, il termine ‛caos' significa totale annientamento dell'ordine o assenza di qualsiasi struttura. Analogamente, in matematica, [...] : poniamo tutti i numeri naturali nell'ordine seguente,
che si chiama ordinamento di Sarkovskii. Sia F una qualsiasi funzione continua sulla rettareale o su un suo intervallo. Se F ha un ciclo di periodo n, e n viene prima di k nell'ordinamento di ...
Leggi Tutto
reale2
reale2 agg. [dal lat. mediev. realis, der. di res «cosa»]. – 1. Che è, che esiste veramente, effettivamente e concretamente (contrapp., nell’uso com. e generico, a immaginario, illusorio e anche a apparente, ideale, possibile): le mie...
retta3
rètta3 s. f. [femm. sostantivato di retto2]. – In geometria, ente fondamentale, in genere assunto come primitivo nelle trattazioni assiomatiche, per il quale valgono alcune proprietà tipiche: per due punti distinti A e B (nel piano...