estremo

E. di una funzione Data una funzione univoca f a valori reali, definita in un insieme I, si possono presentare le seguenti due possibilità: a) esiste un numero reale (e quindi infiniti) tale che tutti i valori della f sono a esso inferiori o al più uguali; b) preso un qualsiasi numero reale positivo A, esiste sempre qualche valore della f che supera A. Nel caso a) si consideri il più piccolo dei numeri reali che godono della proprietà indicata: tale numero si dirà l’ e. superiore della f in I. Nel secondo caso si dirà che l’e. superiore della f in I è +∞. Analoghe definizioni per l’ e. inferiore. È da sottolineare il fatto che l’e. superiore (o inferiore) della f non è necessariamente il suo massimo (o il suo minimo) valore in I; può darsi infatti che esistano valori della f, i quali differiscono di quanto poco si vuole dal valore dell’e. superiore (o inferiore), senza che tuttavia l’e. (superiore o inferiore) sia esso stesso un valore della f. Per es., la funzione y=x/(1+x) nell’intervallo (0, +∞) ha come e. superiore il valore 1, che però non viene assunto dalla funzione in nessun punto dell’intervallo. Naturalmente però il massimo e minimo valore della f in I, quando esistono, coincidono rispettivamente con l’e. superiore o inferiore della funzione stessa. Va rilevato, peraltro, che il termine estremo, quando si considerino i massimi e i minimi, relativi o assoluti, di una funzione è usato per indicare indifferentemente sia un suo massimo sia un suo minimo (relativo o assoluto); e ciò allo scopo di potere trattare contemporaneamente nel modo più comodo questioni di massimo e di minimo. E. di una proporzione Sono detti e. di una proporzione il primo e il quarto termine di essa (il secondo e il terzo sono i ‘medi’).

Per quanto riguarda gli e. di un intervallo ➔ intervallo.