isomorfismo

In matematica, corrispondenza biunivoca tra due insiemi dotati di ‘strutture’, la quale conservi le strutture stesse. Le strutture sono di tre tipi: d’ordine, algebriche e topologiche, e si hanno perciò tre diversi tipi di isomorfismi. I. tra insiemi dotati di strutture d’ordine (i. d’ordine) Si tratta di una corrispondenza biunivoca che conserva l’ordinamento; per es., la corrispondenza che a ogni numero intero associa il suo quadrato è un i. tra l’insieme N=[1, 2, 3, ...] dei numeri interi positivi e l’insieme M=[1, 4, 9, ...] dei loro quadrati, pensando tanto N quanto M ordinati in senso crescente. I. tra insiemi dotati di strutture algebriche Può trattarsi, per es., di due gruppi G, G′ e di una opportuna corrispondenza biunivoca tra essi; questa corrispondenza si dice un i. se, considerati due elementi qualsiasi a, b di G e i loro corrispondenti a′, b′ in G′, avviene che ad ab corrisponda a′b′. Un esempio di i. tra gruppi si ottiene assumendo per G l’insieme dei numeri reali maggiori di zero con la legge di composizione data dall’ordinaria moltiplicazione e per G′ l’insieme di tutti i numeri reali, positivi e negativi, composti con l’ordinaria addizione e scegliendo la corrispondenza che a ogni numero reale associa il suo logaritmo. Assai spesso si considerano i. tra insiemi dotati di più leggi di composizione (per es., anelli o corpi o campi); in tal caso l’i. deve rispettare ciascuna di queste leggi. Due gruppi (due anelli, due corpi ecc.) tra i quali interceda una corrispondenza di i. si dicono isomorfi e sono considerati identici nell’algebra astratta, in quanto hanno le medesime proprietà algebriche. I. tra insiemi dotati di strutture topologiche Tali particolari i. non sono altro che gli omeomorfismi tra spazi topologici (➔ omeomorfismo).