corrispondènza

Fisica

Per il principio di corrispondenza di Bohr ➔ corrispondènza, princìpio di.

Matematica

Date due classi, o insiemi, A e A′, di oggetti o di enti astratti, si dice che fra di esse intercede una c. quando a ogni elemento a di A vengono associati uno o più elementi a′ di A′, in modo che ogni elemento a′ di A′ risulti associato a qualche elemento a di A. In una c. si possono distinguere due ‘sensi’, cioè due operazioni, l’una inversa dell’altra. Una prima operazione è la c. diretta A → A′, che consiste nell’associare a ogni a di A uno o più elementi a′ di A′; l’altra è la c. inversa A′ → A, che consiste nell’associare a ogni a′ di A′ il sottoinsieme degli elementi a di A che contengono a′ tra i loro associati. Per indicare la c. si userà allora il simbolo: A ⇆ A′.

Si possono presentare vari casi: a) a ogni a di A sono associati (‘corrispondono’) più elementi a′ di A′, e ogni elemento a′ di A′ compare tra i corrispondenti di più elementi a di A: allora la c. A ⇆ A′ è plurivoca in ambedue i sensi. b) A ogni a di A corrisponde uno e un solo elemento a′ di A′ (a′ = ‘immagine’ di a), mentre ad a′ di A′ corrispondono più elementi a di A nella c. inversa A′ → A; la c. è allora univoca. c) A ogni elemento a di A corrisponde uno e un solo a′ di A′ e viceversa; simbolo: A ↔ A′; la c. è biunivoca, cioè univoca in ambedue i sensi. Il concetto di c. è fondamentale in tutta la matematica e a esso si riconduce, in definitiva, il concetto di funzione.

Il concetto di c., modernamente inteso, è ancora più generale di quello dato sopra, in quanto non si richiede che ogni elemento a di A abbia un corrispondente in A′, cioè che la c. sia definita in tutto A, ma ci si limita a supporre che essa sia definita soltanto per alcuni elementi di A; similmente non si suppone che ogni elemento di A′ sia il corrispondente di qualche elemento di A. Si parla allora di dominio della c. (il sottoinsieme degli elementi di A per i quali è definita la c.) e di codominio o immagine (l’analogo sottoinsieme degli elementi di A′). In questa accezione più generale una c. si può identificare con una totalità di coppie ordinate (a, a′) di elementi di A, A′, e in quanto tale è individuata da un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A per A′, detto talvolta grafico della corrispondenza.

Hanno poi un ruolo particolare determinate classi di c. di cui seguono alcuni esempi. Tra le c. plurivoche ricordiamo le c. algebriche tra due rette (complesse), distinte o coincidenti. Se f (x, y) = 0 è una equazione algebrica di grado m rispetto alla x e di grado n rispetto alla y, a ogni valore x̄ della x corrispondono n valori della y, e viceversa a ogni valore ȳ della y corrispondono m valori della x; la c. algebrica si dice di indici m, n, e si scrive: [m, n]. Esse obbediscono al principio di c. o di Chasles: «In una c. algebrica [m, n] sopra una retta, il numero dei punti uniti, cioè dei punti che coincidono con uno dei corrispondenti, è m + n». Tra le c. biunivoche ricordiamo le proiettività, gli isomorfismi tra due insiemi algebrici, e gli omeomorfismi tra due spazi topologici.