proiettività

proiettività In geometria, p. tra due forme di prima specie è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi delle due forme la quale conservi i birapporti delle quaterne di elementi corrispondenti. Il concetto si estende alle forme di specie superiore alla prima, intendendo per p. tra due forme F, F′ della stessa specie una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di F, F′ la quale faccia corrispondere a una forma di prima specie contenuta in F una forma di prima specie contenuta in F′, in modo tale che due forme di prima specie corrispondenti risultino riferite in una p. nel senso sopra detto. Le p. sono trasformazioni di fondamentale importanza nella geometria proiettiva, dove appunto si studiano le proprietà delle figure che sono invarianti rispetto alle proiettività. Teorema fondamentale delle p. Esiste una e una sola p. tra due forme di prima specie, la quale, a tre elementi distinti arbitrariamente fissati sulla prima forma, faccia corrispondere tre elementi distinti arbitrariamente prefissati nella seconda. Tale teorema si generalizza al caso di forme di specie superiore.

Quelle particolari p. che siano costruibili con operazioni di proiezione e sezione prendono propriamente il nome di omografie (➔ omografia) o collineazioni (quantunque il termine sia stato talvolta usato come sinononimo di p.): per es., è sempre omografia una p. tra due forme di specie qualunque, che abbiano lo stesso nome (così tra due piani punteggiati, tra due stelle di rette ecc.), oppure tra due forme di prima specie qualunque.

Le p. non costruibili con operazioni di proiezione e sezione si dicono anche reciprocità o correlazioni; tali sono, per es., le p. tra un piano punteggiato e un piano rigato. Asse di una p. è la retta unita nella p. tra rette punteggiate; centro di una p., il punto unito nella p. tra fasci di rette; p. ellittica, iperbolica, parabolica, p. tra due forme di prima specie sovrapposte, che, rispettivamente, non ammette punti uniti, ovvero ne ammette due, ovvero uno solo; gruppo delle p., il gruppo delle omografie, che mutano in sé una retta, un piano, uno spazio ecc.; il termine si riferisce in particolare al gruppo continuo a 3 parametri delle p. in sé di una retta, o di una forma di prima specie.