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omografia

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In geometria, corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra gli elementi (di solito i punti) che costituiscono due spazi proiettivi Pn e P′n aventi la stessa dimensione, la quale faccia corrispondere a forme di prima specie di uno di essi forme di prima specie dell’altro. È detta anche proiettività.

Un’o. è rappresentabile mediante una sostituzione lineare omogenea e non degenere sulle coordinate omogenee nei due spazi Pn e P′n cui l’o. si riferisce, cioè mediante equazioni del tipo:

[1] formula

formula

dove xj e x′i sono le coordinate del punto in Pn, e del suo corrispondente in P′n, ρ è un fattore non nullo e la matrice quadrata dei coefficienti aij è non degenere, cioè ha determinante diverso da zero (il che consente la risoluzione del sistema [1] rispetto alle x).

Qualora si utilizzino coordinate non omogenee, la o. si rappresenta mediante n funzioni lineari fratte, aventi lo stesso denominatore. Nel caso particolare di due rette proiettive (spazi P1 di dimensione uno) l’o. è una corrispondenza biunivoca che conserva i birapporti. In ogni caso una o. è determinata quando si imponga a essa di far corrispondere a n+2 punti assegnati in Pn (tali che n+1 di essi siano sempre indipendenti) n+2 punti assegnati in P′n.

Costruzione geometrica di un’omografia

fig. 1

Ogni o. tra due spazi che non abbiano nessun punto in comune è realizzabile mediante un’opportuna operazione di proiezione seguita da una sezione; è il caso, per es., di un’o. tra due rette sghembe (fig. 1): le rette sono r ed r′, i punti corrispondenti A e A′, B e B′ ecc.; la proiezione e la successiva sezione sono attuate tramite il fascio di piani avente per asse una retta s. Se, invece, i due spazi hanno punti in comune, non si può, di solito, realizzare una data o. con una sola proiezione e una sola sezione. Casi particolari di o. sono i movimenti, le simmetrie (rispetto a un punto, o a una retta, o a un piano), le affinità, le omologie ecc.

Studio e classificazione delle omografie

Se gli spazi sono distinti, scegliendo opportunamente il riferimento proiettivo di uno dei due spazi, l’o. si può rappresentare nella forma ρx′i=xi (i=0, 1, …, n): gli spazi proiettivi a n dimensioni sono proiettivamente identici e pertanto non si pone nessun problema di classificazione. Se gli spazi sono sovrapposti è possibile una classificazione proiettiva, che si effettua ricercando i punti uniti (cioè i punti che hanno sé stessi per corrispondenti) che caratterizzano l’omografia. Quando si considerino solo o. tra due spazi Pn sovrapposti e si definisca il prodotto di due o. come caso particolare del prodotto di due trasformazioni, l’insieme delle o. è un gruppo continuo a n(n+2) parametri detto gruppo delle proiettività. L’identità del gruppo è l’o. di equazioni ρx′i=xi (i=0, 1, …, n), l’inversa della [1] è quella che si ottiene risolvendo il sistema [1] rispetto alle variabili xi (i=0, 1, …, n).

O. vettoriali

Si chiama o. vettoriale un operatore vettoriale che trasforma vettori in vettori. Precisamente, se v è un vettore, v1, v2, v3 sono le sue componenti rispetto a una terna di riferimento T, e grs (r, s=1, 2, 3) sono nove coefficienti di una matrice quadrata M, generalmente variabili al variare di T, si chiama o. vettoriale di coefficienti grs l’operatore che trasforma v nel vettore w di componenti wr=∑31 sgrsvs (r=1, 2, 3). Se si pensano tutti i vettori v e i loro trasformati w applicati in un medesimo punto O, lo spazio dei punti V, estremi dei vettori (O, v), e quello dei punti W, estremi dei vettori (O, w), risultano legati da una di quelle corrispondenze geometriche che hanno il nome di affinità con un punto fisso o anche di epimorfismi di uno spazio vettoriale (ossia di omomorfismi tra spazi coincidenti). Una qualsiasi o. vettoriale ammette sempre almeno una direzione unita (cioè un vettore avente tale direzione viene trasformato dall’o. in un vettore avente la medesima direzione). Particolari o. hanno più d’una direzione unita. Le o. vettoriali sono operatori lineari che si incontrano spesso in questioni di fisica-matematica come, per es., l’o. di tensione nei mezzi deformabili, lo sforzo specifico Φu ecc. O. che godono di particolari proprietà assumono denominazioni speciali; si hanno così dilatazioni, dilatazioni pure, rotori, o. assiali, diadi ecc.

Vedi anche
proiettività In geometria, p. tra due forme di prima specie è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi delle due forme la quale conservi i birapporti delle quaterne di elementi corrispondenti. Il concetto si estende alle forme di specie superiore alla prima, intendendo per p. tra due forme F, F′ della stessa ... Giuseppe Battaglini Matematico (Napoli 1826 - ivi 1894). Professore di geometria superiore a Napoli e a Roma, poi di nuovo a Napoli (1885). Nel 1863, insieme con N. Trudi e V. Janni, fondò il Giornale di matematiche ad uso degli studenti delle università italiane (Giornale di B.). Compì importanti ricerche sulla teoria ... Michel Chasles Matematico (Épernon 1793 - Parigi 1880). Nel 1837 conquistò grande fama con il suo Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géometrie, che si conclude con i risultati originali dello Ch. sulla dualità e l'omografia. Fu dal 1846 prof. di geometria superiore alla Sorbona; la ... movimento Biologia Mutamento della posizione di un organismo o di una sua parte rispetto all’ambiente. La capacità di muoversi è una delle caratteristiche fondamentali degli esseri viventi, di solito la manifestazione più immediata ed evidente di una loro proprietà essenziale: l’eccitabilità o irritabilità Si ...
Categorie
  • GEOMETRIA in Matematica
Tag
  • CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
  • COORDINATE OMOGENEE
  • SPAZIO VETTORIALE
  • OPERATORI LINEARI
  • MATRICE QUADRATA
Altri risultati per omografia
  • omografia
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    omografia o collineazione, corrispondenza biunivoca tra due spazi proiettivi di uguale dimensione Sn e Sn′ definita da equazioni del tipo dove h è un numero reale non nullo, xj e xi′ sono le coordinate proiettive omogenee nei due spazi e la matrice A = (aij) ha determinante non nullo. Un’omografia ...
Vocabolario
omografìa
omografia omografìa s. f. [comp. di omo- e -grafia]. – 1. Il fatto di essere omografo, di essere scritto nello stesso modo: un equivoco dovuto all’o. di due cognomi. 2. In matematica, in partic. in geometria, corrispondenza biunivoca senza...
omogràfico
omografico omogràfico agg. [der. di omografia] (pl. m. -ci). – Relativo a una omografia, o consistente in una omografia: corrispondenza o., lo stesso che omografia.
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