biforcazioni, teoria delle

Capitolo della matematica che studia ogni variazione di tipo qualitativo che si possa riscontrare negli elementi di una famiglia di curve o di superfici o di campi di vettori, ecc., di;pendente da un certo numero di parametri. Uno degli esempi più semplici è dato dalla famiglia di curve y²=x(ax²+bx+c); a seconda del segno di b²−4ac, le curve della famiglia hanno infatti una diversa natura topologica, potendo essere costituite da un unico circuito, oppure da due circuiti, presentare punti isolati o singolarità cuspidali o nodali. Nello spazio R³ in cui si rappresentano i parametri a, b, c, detti parametri di b., si chiamano punti di b. quelli in un intorno dei quali le corrispondenti curve della famiglia manifestano il fenomeno della b., ossia una variazione di tipo qualitativo: i punti di b. sono perciò quelli della superficie conica di equazione b²=4ac. Uno dei principali oggetti della teoria è però lo studio delle famiglie di campi di vettori e delle famiglie di traiettorie di equazioni differenziali: in tutti i casi si deve considerare una varietà V i cui punti rappresentano i parametri di b. delle famiglie in esame e una sottovarietà W⊂V che indica invece i punti di biforcazione. Una prima classificazione si basa sulla codimensione di W, ossia sul numero dim V−dim W: il caso più semplice è quello della codimensione uno (è tale il caso dell’esempio perché dim V=3, dim W=2), ma non è escluso che la codimensione possa assumere valori grandi o anche essere infinita come in certi problemi sugli spazi funzionali.

La teoria delle b. è sorta con le ricerche di J.-H. Poincaré ed è divenuta poi oggetto di intensi studi da parte delle scuole che fanno capo a V. Arnold, J. Marsden e altri. Profondi sono i legami con la topologia differenziale, con l’omotopia, con la teoria delle foliazioni. Del massimo interesse le applicazioni pratiche: risoluzione di equazioni e di sistemi con procedimenti di tipo ricorrente (che conducono appunto a famiglie di traiettorie di cui hanno interesse le singolarità), questioni di stabilità in idrodinamica, problemi di risonanza.

Nell’ambito dei sistemi dinamici, sono esempi di b. il passaggio da un punto fisso stabile a un ciclo limite e il passaggio da un moto quasi-periodico al moto su un attrattore strano. La rappresentazione di una qualche proprietà caratteristica delle soluzioni delle equazioni del moto (per es., l’ampiezza massima delle oscillazioni) in funzione dei parametri di b. costituisce il diagramma di biforcazione. Il fisico statunitense M. J. Feigenbaum ha studiato le b. di sistemi iterativi della forma x_n+1=f(x_n), dove f è una funzione reale dell’intervallo [0,1] in sé stesso, tale che f(0)=f(1)=0. Già con f della forma f(x)=4ax(1−x) si ottiene un attrattore aperiodico quando a tende al valore critico a≃0,892. Il mec;canismo di successive b. attraverso il quale il sistema perviene, al variare di a, all’attrattore aperiodico è detto cascata di Feigenbaum.