lunghezza

Matematica

In geometria, l’estensione di un segmento (rettilineo), di una successione di segmenti, e anche la misura di detta estensione rispetto a una assegnata unità. Si tratta di un caso particolare di estensione o di misura: essa è infatti l’estensione di una linea, ossia di un ente geometrico avente una sola dimensione.

La l. di un segmento è il numero reale corrispondente al rapporto tra il dato segmento e un segmento prefissato che viene scelto come unità di misura. Per l. di una poligonale si intende la somma delle l. dei suoi lati.

La l. di un arco di curva è data dal limite (supposto esistente) della l. di una poligonale avente i vertici sull’arco quando tutti i suoi lati tendono ad avere l. nulla. Tale definizione traduce il concetto intuitivo che per misurare approssimativamente la l. di un arco di curva basta valutarne molti tratti rettilinei piccolissimi ed eseguire la somma delle l. ottenute. Una curva che ammette una l. ben determinata si dice rettificabile. Se x=x(t), y=y(t), z=z(t) sono le equazioni parametriche dell’arco di curva e il parametro t varia nell’intervallo chiuso [t₀, t₁], l’arco è rettificabile se le funzioni x(t), y(t), z(t) sono a variazione limitata nell’intervallo anzidetto. Questa condizione è senz’altro verificata se tali funzioni sono derivabili e la loro derivata è continua, e in tal caso la l. dell’arco è espressa dalla formula:

l = ∫^t1_t0 ds = ∫^t1_t0 √‾‾‾‾‾‾[x′(t)]‾‾²‾‾+[y′‾‾‾‾‾(t‾‾)]²‾‾+‾‾‾‾[‾‾z′‾‾(t)]‾‾‾‾²‾‾ dt,

fig. A

essendo ds=√‾‾‾‾‾‾dx²+‾‾‾dy²‾‾‾+‾‾‾dz²‾‾‾‾‾‾ l’elemento d’arco della curva, come si comprende intuitivamente osservando (fig. A) che l’elemento d’arco ds, concepito come un segmento, è diagonale di un parallelepipedo rettangolo di spigoli dx, dy, dz.

Per una curva piana di equazione y=f(x), con x variabile nell’intervallo chiuso [x₀, x₁], la l. è data da:

l = ∫^x1_x0 √‾‾‾‾‾‾1+[f′‾‾‾‾‾(x‾‾)]²‾‾ dx;

infine, se la curva è assegnata mediante la sua equazione in coordinate polari

ρ = ρ(ϑ), ϑ₁ ≤ ϑ ≤ϑ₂

si ottiene:

l = ∫^ϑ1_ϑ0 √‾‾‾‾‾‾[ρ′(ϑ)]²‾‾+‾‾‾[ρ‾‾‾(ϑ)‾‾‾]²‾‾‾ dϑ,

giustificabile intuitivamente osservando (fig. B) che l’elemento d’arco ds può pensarsi come ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti dρ=ρ′(ϑ)dϑ e ρ(ϑ)dϑ.

La l. figura abitualmente come grandezza fondamentale nei sistemi di unità di misura sia assoluti sia pratici. Unità di l. nel sistema internazionale (SI) e anche di uso corrente è il metro con i suoi multipli e sottomultipli decimali; unità di l. nei paesi di lingua inglese è la iarda (yard); per esigenze particolari (misurazioni di distanze dei corpi celesti, di piccole l. d’onda ecc.) sono usate anche altre unità, quali l’anno luce, il parsec, l’ångström ecc. Strumenti di misurazione di l. sono, per es., il calibro, il comparatore, il micrometro, il catetometro.

Tecnica

Nella tecnica ferroviaria e stradale, si dice l. virtuale di una linea ferroviaria o di una strada la l. in rettifilo orizzontale che, in base a un prestabilito criterio di confronto, risulti equivalente alla l. reale della linea o della strada (cioè all’effettivo sviluppo del suo asse stradale). I criteri di confronto possono essere diversi riferendosi essi, per esempio, alle spese di trasporto, ai tempi di percorrenza, o per le ferrovie, secondo l’uso predominante, al lavoro di trazione ai cerchioni motori della motrice.