Millennium Problems

Selezione di 7 problemi matematici proposti nel 2000 dal Clay Mathematics Institute (CMI) di Cambridge, Massachusetts, che ha stanziato per la risoluzione di ognuno di essi un premio di 1 milione di dollari. I problemi sono stati scelti tra i più importanti problemi classici che hanno resistito ai tentativi di soluzione nel corso degli anni e dovrebbero servire da guida per i matematici, così come fecero i problemi proposti da D. Hilbert nel 1900. Tra i 7 problemi solo l’ipotesi di Riemann si trovava tra i 23 problemi di Hilbert. Nel 2002 G. Perelman ha presentato una dimostrazione, accettata nel 2006, della congettura di Poincaré, che è finora l’unico dei problemi a essere stato risolto. Tale dimostrazione è valsa a Perelman la Medaglia Fields 2006 e il premio da 1 milione di dollari del CMI, ma egli ha rifiutato entrambi.

Problema ‘P versus NP’ Il problema riguarda la relazione tra le classi di complessità computazionale P, cui appartengono i problemi che possono essere risolti con un algoritmo deterministico in un tempo polinomiale, e NP, cui appartengono i problemi che possono essere verificati (ma non risolti) nello stesso modo. In particolare il problema chiede se tutti i problemi di tipo NP non possano essere trasformati in problemi di tipo P.

Congettura di Poincaré Afferma che ogni varietà tridimensionale chiusa semplicemente connessa è omeomorfa a una sfera (➔ Poincaré, Jules-Henri).

Ipotesi di Riemann Afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann hanno parte reale uguale a 1/2. La funzione zeta di Riemann è strettamente connessa alla distribuzione dei numeri primi (➔ numero); il problema ha perciò anche una notevole importanza pratica in relazione alla sicurezza di alcuni codici crittografici. Congettura di Hodge Afferma che per le varietà algebriche proiettive i cicli di Hodge sono combinazioni lineari razionali di cicli algebrici.

Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer Afferma che si può stabilire se una curva ellittica ha un numero finito o infinito di punti razionali studiando il comportamento, in un punto, di una funzione a essa associata.

Teoria di Yang-Mills Il problema chiede di dimostrare che la teoria di Yang-Mills esiste e possiede un gap di massa; tale teoria è alla base dell’attuale Modello Standard della particelle elementari ma non è ancora rigorosa dal punto di vista teorico.

Equazioni di Navier-Stokes Sono le equazioni che descrivono i fluidi e vengono comunemente risolte con metodi numerici. Il problema chiede di studiare l’esistenza e la regolarità delle soluzioni.