congruenza

Nella geometria elementare, sinonimo di uguaglianza (➔) diretta, cioè di sovrapponibilità.

Nella teoria dei numeri, relazione di due numeri interi relativi a, b tali che la differenza a−b è divisibile per un numero intero positivo m (detto modulo di una c.); essa si scrive a≡b (mod. m) e si legge: «a congruo a b modulo m». Su di una c. si opera come su di una uguaglianza. Vale il principio del trasporto dei termini, da un membro all’altro della c., e due c. rispetto a uno stesso modulo possono sommarsi o moltiplicarsi membro a membro ottenendo una c. rispetto allo stesso modulo. La cancellazione di un fattore comune ai due membri è invece lecita quando e soltanto quando tale fattore sia primo con il modulo (nel caso di un modulo primo, quando e soltanto quando tale fattore non sia un multiplo del modulo). Per la c., valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva dell’uguaglianza. Ciò vuol dire che, fissato un modulo m, tutti gli interi possono essere divisi in classi, tali che i numeri di due classi diverse siano sempre incongrui tra di loro, mentre i numeri di una classe sono tutti congrui tra di loro (classi-resto). Ciò si ottiene nel modo più semplice ponendo in una medesima classe tutti i numeri che, divisi per m, danno lo stesso resto. La classe rappresentata dallo zero (classe zero) è allora la classe dei numeri divisibili per m. I ben noti criteri di divisibilità (per 3, 4, 5, 9, 11 ecc.) si giustificano appunto per mezzo della teoria delle congruenze. In tale teoria è particolarmente importante il teorema di Eulero: «Se a è primo con m, allora a^Φ(m) ≡ 1 (mod. m)» [Φ(m) denota quanti dei numeri tra 1 ed m sono primi con m]. Ne è un caso particolare il cosiddetto piccolo teorema di Fermat: «Se p è primo, e a non è multiplo di p, allora ap⁻¹ ≡ 1 (mod. p)».