dualità

Matematica

Proprietà di postulati e di proposizioni che si mutano in altri postulati e altre proposizioni ove a certi enti se ne sostituiscano determinati altri.

Principio di dualità

Nella geometria proiettiva del piano i postulati fondamentali si scambiano tra loro per dualità, quando si scambino negli enunciati degli stessi i termini ‘punto’ e ‘retta’. Per es., dal postulato: «Due punti distinti individuano una retta e una soltanto», si passa per dualità al postulato: «Due rette distinte individuano un punto e uno soltanto». Ciò porta a enunciare il principio di dualità nel piano: da ogni teorema di geometria proiettiva nel piano se ne può dedurre un altro scambiando tra loro le parole ‘punto’ e ‘retta’, e applicando le modificazioni di linguaggio che a tale scambio conseguono. Lo stesso accade per i postulati della geometria proiettiva dello spazio quando si scambino tra loro le parole ‘punto’ e ‘piano’ e si lasci immutata la parola ‘retta’.

Un principio di dualità è stato per la prima volta riconosciuto e applicato nella geometria proiettiva (a opera soprattutto di J.-V. Poncelet e J.-D. Gergonne); ma è possibile, più in generale, stabilire un principio o legge di dualità in una teoria matematica o in una sua parte ogniqualvolta si riesca a individuare una simmetria che permetta di contrapporre a certe situazioni, teoremi ecc., altre situazioni e teoremi e dedurre gli uni dagli altri mediante un opportuno procedimento, codificato appunto nel principio di dualità.

Si hanno così un principio di dualità in logica matematica (sia enunciativa sia dell’ordine): se le formule A e B sono equivalenti, anche le formule duali A′ e B′ (ottenute rispettivamente da A e B scambiando dovunque la congiunzione ∧ e la disgiunzione ∨) sono equivalenti; una legge di dualità nei reticoli in algebra, per la quale compiono un ufficio simmetrico i concetti di unione e intersezione; teoremi di dualità in topologia (dovuti in particolare a J.W. Alexander) ecc.

Fisica

Il principio di dualità vale per molte leggi della fisica, poiché numerose leggi sono simili formalmente ma diverse per le grandezze fisiche in gioco. Vi è così dualità tra i fenomeni elettrici e magnetici, tra i fenomeni elettrici e quelli riguardanti la propagazione del calore per conduzione ecc.