non commutativo
In matematica, si dice di struttura nella quale sia definita un’operazione che non è commutativa (➔ commutativa, proprietà). Tali strutture hanno assunto un ruolo importante nella caratterizzazione della cosiddetta geometria n., che studia le proprietà di spazi funzionali attraverso quelle di algebre n. a essi associate. Esempi di algebre n. sono le algebre di operatori su uno spazio di Hilbert a dimensione finita. In generale, l’associazione a uno spazio funzionale di un’algebra si realizza dimostrando che le proprietà di un insieme di punti di uno spazio possono essere descritte mediante le proprietà di anelli commutativi di funzioni (anelli di funzioni C∞), definite sull’insieme di punti. In questo modo il concetto geometrico di spazio di punti è sostituito da quello di anello delle funzioni definite sullo spazio.
Facendo un’ulteriore astrazione, la geometria n. richiede che l’algebra delle funzioni sia n. ed elimina del tutto il concetto di punto; questa eliminazione, che è fondamentale nelle applicazioni, è alla base della definizione della geometria n. stessa.
L’origine della geometria n. si può far risalire alla fisica quantistica e agli studi di I.M. Gel´fand e M.A. Naimark sulle C*-algebre, una particolare varietà di algebra degli operatori nello spazio di Hilbert. Per es., con la quantizzazione dello spazio delle fasi di una particella in moto unidimensionale si ottiene una struttura matematica che può essere considerata come una generalizzazione n. dello spazio delle fasi. In questa formulazione quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg implica l’impossibilità di dare una definizione operativa non contraddittoria di un punto dello spazio delle fasi classico, mentre è possibile definire l’algebra delle funzioni n. sullo spazio delle fasi.
Strutture analoghe sono state individuate in vari contesti applicativi, quali le strutture periodiche in campi magnetici, i modelli di matrici nella teoria delle stringhe ecc. Nel processo di quantizzazione di geometrie più complicate del piano delle fasi, le strutture n. appaiono come opportune deformazioni di gruppi di Lie. Nella teoria delle probabilità il concetto di spazio di probabilità è stato esteso introducendo (1996) una struttura n. che porta alla definizione di variabili casuali n., e in quest’ottica è stata dimostrata (D. Voiculescu, 1996) un’importante legge riguardante le matrici casuali.
Un rilevante campo di indagine della geometria n. è la k-teoria delle algebre n. di operatori. Altri stimolanti campi di applicazione della geometria n. sono rappresentati dagli studi di A. Kirillov e B. Kostant relativi alla quantizzazione simplettica, o kählerizzazione, per le equazioni d’onda non lineari e al metodo delle orbite nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi.