passeggiata aleatoria
Nel calcolo delle probabilità, il modello matematico (detto anche passeggiata a caso o cammino aleatorio) che rappresenta il movimento di un punto soggetto a spostamenti casuali.
Il caso più semplice si ha considerando su una retta un punto che, da una posizione iniziale, si può spostare in un verso o nell’altro con probabilità uguale, per un tratto di lunghezza fissata; dalla posizione così raggiunta si muove ancora nello stesso modo, e così via. La posizione del punto dopo n passi, individuata dalla sua ascissa Xn, è ovviamente una variabile casuale. Le p. sono studiate nell’ambito dei processi aleatori e, in quello delle catene di Markov, per il semplice esempio indicato. Allo stesso modello si giunge se si considera una successione di scommesse in ciascuna delle quali un giocatore può vincere o perdere, con probabilità uguali, una somma fissata e si indica con Xn il guadagno dopo n scommesse. Problemi tipici delle p. sono: la distribuzione di probabilità di Xn; quanto tempo passerà (in media o con una determinata probabilità) prima che il punto arrivi (per la prima volta) a una data posizione x, e così via.
La p. può essere limitata da barriere che possono essere assorbenti se il punto, arrivato alla barriera, vi si ferma definitivamente (e la passeggiata ha termine) o riflettenti se il punto, arrivato alla barriera, ‘rimbalza’ su di essa ritornando indietro. Per es., nel caso visto sopra, se il giocatore, con una somma iniziale x, gioca contro un banco che ha una disponibilità A, si hanno due barriere assorbenti quando Xn=x+A (il gioco termina perché il banco ‘salta’) e quando Xn=0 (il gioco termina con la ‘rovina’ del giocatore). Lo studio di tale situazione è detto appunto problema della rovina del giocatore e fa parte della teoria del rischio, che, naturalmente con modelli più complicati di quello presentato, ha notevole importanza nel campo della matematica attuariale.
Le p. trovano importanti applicazioni anche nello studio di fenomeni fisici, nei quali il movimento di un punto dipende dal caso: tipico, per es., il moto browniano delle molecole di un gas.