semigruppo

semigruppo In matematica, insieme in cui è definita un’operazione (o legge di composizione interna) binaria associativa per la quale valgano le due regole di semplificazione a sinistra e a destra, tale cioè che da ax=ax′ segua x=x′ e da yb=y′b segua y=y′; in altri termini, un s. è uno pseudogruppo in cui sussistono le due regole di semplificazione a sinistra e a destra. Un esempio di s. è dato dall’insieme dei numeri interi positivi composti con l’ordinaria moltiplicazione.

La nozione di s. ha trovato crescenti applicazioni nella teoria delle equazioni differenziali e nella meccanica quantistica. Questo legame può essere chiarito considerando, per es., un’equazione per la quale il problema di Cauchy sia ben posto, cioè un’equazione differenziale ordinaria della forma y′(x)=F(x,y), con dato iniziale y(0)=y0, avente una soluzione unica e la proprietà seguente: una successione di dati iniziali y0,n che converge a un limite y0, dà luogo a una successione di soluzioni yn(x, y0,n) che convergono uniformemente a una funzione y(x, y0). È facile vedere allora che la famiglia di funzioni Ux(y), definita da Ux(y0)=y(x, y0), ha le proprietà di un s. continuo di indice x, cioè soddisfa le relazioni U0=1, Ux+t=UxUt. Generalizzando questa osservazione al problema di Cauchy astratto, cioè alla ricerca delle soluzioni dell’equazione (d/dt)u(t)=Au(t), con dato iniziale u(0)=u0, in cui u è un elemento di uno spazio normato X e A è un operatore lineare su DA⊂X, si può definire analogamente un s. Ut che, se A è limitato e DA=X, è la famiglia di operatori exp(tA), dove

Attraverso lo studio di Ut è possibile talvolta costruire le soluzioni del problema di Cauchy astratto e generare algoritmi che ne permettano la soluzione numerica. Molti problemi della fisica matematica (equazione delle onde, equazione del calore, problemi dissipativi) possono essere espressi in forma di problema di Cauchy astratto e dunque affrontati in questo contesto. Questo tipo di approccio può essere convenientemente generalizzato alla meccanica quantistica, dove il s. che genera l’evoluzione temporale della funzione d’onda è dato da exp(iHt/ℏ), con H hamiltoniana del sistema. Problema delle parole per i s. Si considerino 5 simboli, a, b, c, d, e e tutti i possibili allineamenti finiti di essi, che sono detti parole; è assegnata poi una legge di composizione binaria tra le parole e un numero finito di legami tra esse. Ciò ha come conseguenza che due differenti parole possono essere equivalenti. Le classi di parole tra loro equivalenti sono elementi di un semigruppo. Il problema è di individuare un procedimento per stabilire se in un generico s. due parole siano o no equivalenti.