irrazionale
Letteratura
Nella metrica classica, lunga i. è la sillaba di quantità lunga che in determinate sedi di alcuni versi può sostituire la breve di un piede. Era così detta perché, presupponendosi l’equipollenza ritmica dei metri di un verso, si doveva ammettere che una tale sillaba non avesse il normale valore di una lunga ma valore intermedio tra una lunga e una breve.
Matematica
In geometria elementare, si dice i. il rapporto di due grandezze incommensurabili, cioè di due grandezze che non posseggono nessun sottomultiplo comune. Nella matematica moderna, al contrario, si parla dei rapporti tra grandezze incommensurabili come di nuovi numeri: i numeri irrazionali. L’introduzione rigorosa degli i. e del calcolo su di essi, dal punto di vista aritmetico, è relativamente recente: fu compiuta nella seconda metà del 19° sec. da R. Dedekind e da G. Cantor, per due vie diverse (successioni di Cantor, sezioni di Dedekind). Un numero i. non si può rappresentare con un numero finito di cifre decimali e nemmeno con uno sviluppo decimale periodico ma solamente con uno sviluppo decimale illimitato e non periodico. Sono i. le radici quadrate di tutti i numeri interi che non siano dei quadrati perfetti e, più in generale, le radici n-me degli interi che non siano potenze n-me di altri numeri interi: è i., per es., √‾‾2=1,4142... (√‾‾2, rapporto tra la diagonale e il lato di uno stesso quadrato, è uno dei primi numeri i. presi in considerazione fin dagli antichi Greci).
Dal punto di vista aritmetico, i numeri i. si dividono in due grandi classi: i numeri i. algebrici, che sono radici di equazioni algebriche a coefficienti interi, come appunto √‾‾2, che è radice dell’equazione x2−2=0, e i numeri i. trascendenti, cioè i numeri i. che non sono radice di nessuna di tali equazioni (è questo il caso di π, rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, e del numero e, base dei logaritmi naturali). Con l’introduzione dei numeri i., i quali, insieme con i numeri razionali (o frazioni), formano la classe dei numeri reali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta: questo fatto è alla base della geometria analitica.