sliding, controllori

In elettronica e, in particolare, nei controlli automatici, classe di controllori robusti, ovvero di sistemi di controllo atti a garantire il soddisfacimento delle specifiche assegnate anche in presenza di perturbazioni o incertezze sui parametri del sistema da controllare. Il nome dato a questa classe di controllori deriva dal fatto che la strategia di controllo consiste nel ‘guidare’ l’evoluzione del sistema verso un’opportuna superficie definita nello spazio di stato (superficie di s.), lungo la quale lo stato ‘scivola’ verso la situazione di equilibrio corrispondente a errore nullo, cioè ad andamento dell’uscita coincidente con quello desiderato.

La sintesi di un controllore s. si basa essenzialmente sulla trasformazione del problema di inseguimento di traiettoria per un sistema di ordine n, in quello più semplice di stabilizzazione all’origine di un sistema del primo ordine. Una classe di sistemi a cui si applica in modo diretto il controllo s. è quella dei sistemi a un ingresso, u(t), e un’uscita, y(t), descritti da un’equazione differenziale di ordine n nell’uscita stessa, ovvero da:

y⁽ⁿ⁾(t)=f(y(t), y⁽¹⁾(t),…, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t), u(t)).

Supponendo che sia assegnata per l’uscita una traiettoria assegnata yd(t), continua e derivabile almeno fino all’ordine n, si definisce errore la quantità e(t)=y(t)−yd(t), e si pone

s(t)=e⁽ⁿ⁻¹⁾(t)+a_n−2e⁽ⁿ⁻²⁾(t)+…+a₁e⁽¹⁾(t)+a₀.

Si noti che l’espressione di s(t) non contiene l’ingresso u(t), il quale compare invece nella sua derivata rispetto al tempo. Scegliendo opportunamente i coefficienti costanti a0,..., an−2, si può fare in modo che le soluzioni dell’equazione differenziale omogenea ottenuta ponendo s(t)=0, convergano asintoticamente all’origine, con costanti di tempo arbitrarie. Il problema di far seguire all’uscita la traiettoria desiderata può dunque essere risolto portando a zero in tempo finito la variabile s, e mantenendola poi indefinitamente a tale valore. Mediante l’impiego di leggi di controllo in retroazione discontinue, ciò può in genere essere ottenuto facilmente, anche in presenza di incertezze sui parametri del modello, purché sia garantita la condizione s(t) ∙ ṡ(t) < −α, per qualche costante α > 0 (condizione di s.). L’equazione s(t)=0 definisce un’ipersuperficie nello spazio di stato del sistema, detta appunto superficie di sliding. Una caratteristica che rende a volte sconsigliabile l’impiego di controllori s. è il verificarsi, associato all’evoluzione nel modo di s., del fenomeno delle vibrazioni ad alta frequenza, corrispondenti alle continue commutazioni dell’ingresso nell’intorno della superficie di s. e dovute al comportamento non ideale degli organi di misura e di attuazione presenti nel sistema.