omomorfismo

Corrispondenza tra due insiemi dotati di struttura algebrica, che sia comparabile con le operazioni definite negli insiemi.

Dati due insiemi A e A′ provvisti di una struttura algebrica dello stesso tipo (per es., due gruppi o due anelli o due spazi vettoriali), si chiama o. di A in A′ (o, con termine antiquato, isomorfismo meriedrico) ogni applicazione f: A→A′ che rispetti le operazioni definite nei due insiemi. Per es., se A e A′ sono due anelli e x, y sono due qualsiasi elementi di A, deve risultare f(x)+f(y)=f(x+y), f(x)f(y)=f(xy). In ogni caso in un o. tra A e A′ all’elemento neutro di A (o agli elementi neutri, se in A sono definite più operazioni) deve corrispondere l’elemento neutro di A′. Accade spesso, tuttavia, che anche ad altri elementi di A la f associ l’elemento neutro di A′: la totalità di questi elementi si chiama nucleo di f e si indica con Kerf.

Si chiama poi immagine dell’o. f, e si indica con Imf, l’insieme degli elementi di A′ che provengono, mediante la f, da almeno un elemento di A. Gli o. si possono classificare basandosi appunto sulla maggiore o minore estensione del nucleo e dell’immagine; se si considerano gli o. tra due fissati insiemi A, A′, si può dire che quanto più è esteso il nucleo, tanto più è ristretta l’immagine. I casi estremi sono: a) Kerf=A: il nucleo ha la massima ampiezza; è l’o. nullo, in cui Imf=O_A′, ossia l’immagine è la minima possibile, perché si riduce al solo elemento neutro di A′. b) Kerf=O_A′: il nucleo ha la minima ampiezza possibile, l’immagine è la più ampia possibile; in questo caso elementi distinti di A hanno sempre immagini distinte, e l’o. si dice iniettivo o anche monomorfismo. Si chiama, poi, o. suriettivo o epimorfismo un o. in cui l’immagine coincida con A′: è sempre suriettivo un o. nel quale la dimensione (opportunamente definita) del nucleo non superi la differenza tra la dimensione di A′ e quella di A. Si chiama infine isomorfismo un o. che sia contemporaneamente iniettivo e suriettivo.

Se f è un o. tra A e A′ e g è un o. tra A′ e A″, si ottiene un nuovo o. h tra A e A″ ponendo, per ogni x di A, h(x)=g[f(x)]; tale o. si chiama prodotto dei due o. considerati.

Un o. tra un sistema algebrico A e sé stesso si chiama endomorfismo di A. Si chiama infine automorfismo di A un endomorfismo di A che sia al tempo stesso un isomorfismo. Teorema fondamentale sugli o. tra gruppi Se f: G → G′ è un o. tra i gruppi G e G′ e si considera il nucleo Kerf (che è sempre un sottogruppo invariante di G), il gruppo quoziente G/Kerf risulta isomorfo all’immagine Imf e l’isomorfismo è realizzato dall’applicazione che associa a ogni classe di G/Kerf l’elemento che corrisponde, mediante f, a un qualsiasi elemento della classe stessa.