invariante

Nel linguaggio scientifico, si dice di ente o grandezza, e anche di espressione matematica o di espressione indicante un legame tra certe grandezze, che non muti operando particolari cambiamenti di variabili o trasformazioni.

Fisica

Una grandezza relativa a un sistema fisico si dice i. se, per il suo carattere intrinseco, non muta quantitativamente per date trasformazioni del sistema o per cambiamento dell’ente di riferimento; in particolare, se il suo valore si mantiene costante nel tempo (cioè non muta sotto le trasformazioni che descrivono l’evoluzione temporale del sistema). Per es., in un sistema isolato sono i. l’energia totale, la carica elettrica ecc.: il che equivale a dire che in un sistema del genere si conserva l’energia totale, la carica elettrica, e così via. Nella meccanica classica (non così in quella relativistica) sono i. la massa di un corpo, le distanza nel tempo e nello spazio fra due avvenimenti.

I. meccanico In dinamica, sinonimo di integrale primo, cioè ogni eventuale funzione dei parametri determinativi dell’atto di moto del sistema (coordinate posizionali, componenti della velocità ed eventualmente il tempo), la quale in ognuno dei moti possibili per il sistema conservi un valore costante (che beninteso varia in generale con il moto particolare preso in considerazione).

Linguistica

In un sistema linguistico considerato in sincronia sono i. tutte le classi di entità tra le quali si stabilisce un’equivalenza funzionale. In italiano un ‹a› di tono grave e un ‹a› di tono acuto sono entità intercambiabili, senza che la sostituzione trasformi il valore linguistico di una sequenza in cui le due entità si inseriscano: le due entità si dicono funzionalmente equivalenti e appartengono a una medesima classe, che è l’i. fonetico ‹a›. Si hanno i. non solo a livello fonematico, ma a tutti i livelli della lingua: un i. lessematico, per es., è quello che comprende le varianti devo e debbo; un i. semantico è il significato d’un qualunque lessema, per es. il significato di andare, rispetto ai molteplici riferimenti concreti del lessema stesso: andare a piedi o con un mezzo di locomozione, muovendosi velocemente o lentamente e simili.

Matematica

Un elemento a, o un insieme A, si dicono i. rispetto a un gruppo di trasformazioni H, operante su di essi, se ogni operazione di H muta in sé l’elemento a (o l’insieme A). In un’algebra X (in un anello ecc.) una sottoalgebra I si dirà i. destra (o, rispettivamente, sinistra) quando accade che, se i è un elemento di I, allora anche i x (o, rispettivamente, x i) è un elemento di I, qualunque sia x in X; nel caso di un anello, si parlerà di un ideale, destro o sinistro. Un sottogruppo H di un gruppo G si dirà invece i. (o normale) quando è mutato in sé da una particolare classe di trasformazioni: quella degli automorfismi interni di G(H) è i. quando gHg⁻¹=H, qualunque sia g in G. Esempi di invarianti sono: l’area di una figura piana, il volume di un solido rispetto ai movimenti; il birapporto di 4 punti P₁, P₂, P₃, P₄, allineati, rispetto alle proiettività; la direzione di un segmento orientato è i. rispetto alle traslazioni. Funzioni i. Una funzione f(x, y, z) si dice i. rispetto a una trasformazione di assi che faccia passare dalle coordinate (x, y, z) ad altre coordinate (x′, y′, z′), quando la forma che assume la funzione a trasformazione effettuata non differisce da ciò che si avrebbe sostituendo direttamente nella funzione data alle primitive coordinate le nuove (cosa che in generale non si verifica). In maniera del tutto analoga si definisce una funzione i. rispetto a certe sostituzioni sulle sue variabili. Analogamente una legge fisica che si traduca in una equazione si dice i. rispetto a una data trasformazione se l’equazione nelle nuove coordinate si ottiene dalla prima scrivendo materialmente al posto delle primitive coordinate le nuove (per es., l’equazione fondamentale della meccanica è i. rispetto a una trasformazione di Galileo).

Teoria degli i. Teoria generale che studia le condizioni per le quali un ente matematico rimane immutato sotto l’azione di una trasformazione. Argomenti legati in vario modo a questa teoria sono stati sviluppati con successo in molti campi della matematica pura e applicata; soltanto negli anni 1990 si è compresa la struttura generale dei problemi in cui si utilizza l’idea di i., la cui relativa teoria astratta è risultata uno dei settori di ricerca più fecondi. Lo studio della teoria degli i., in cui si incontrano diversi problemi tecnici, spesso di elevata complessità, è di grande interesse per le sue numerose applicazioni in matematica (teoria dell’algebra inviluppante, teoria geometrica delle rappresentazioni dei gruppi) e in fisica (teoria dei campi quantizzati).