non standard
Locuzione introdotta da A. Robinson nel 1960 per indicare l’analisi basata su un modello matematico in cui, utilizzando una (opportunamente modificata) logica del primo ordine, viene data una definizione rigorosa del concetto di infinitesimo e quindi di infinito.
La ricerca di una corretta definizione di infinitesimo che G.W. Leibniz considerava sostanzialmente alla stregua degli altri numeri aveva portato ai vani tentativi di G.L. Lagrange, J.-B. d’Alembert, B. Bolzano e A.-L. Cauchy per poi essere accantonata da K.T.W. Weierstrass che, fino a Robinson, aveva impostato l’analisi matematica sull’ε-δ meccanismo.
Nell’analisi n. lo zero è l’unico infinitesimo (standard) e ogni numero ε, che è in modulo più piccolo di qualsiasi numero reale non nullo, è un infinitesimo n.; si può anche dire che ε è «vicino» a zero (in notazione ε≈0) ma non è ε=0. Nascono così l’uguaglianza «macroscopica» (≈), per la quale elementi che si avvicinano «troppo» tendono a confondersi, e quella più raffinata «microscopica» (=) che rafforza il concetto di uguaglianza vera. Quanto accade nelle «vicinanze» dello zero, ripetuto per ciascun numero reale (numero standard) porta alla definizione degli iperreali (o numeri n.), combinazioni dei reali e degli infinitesimi n.; per es., posto 2*=2+ε risulta 2*≈2 ma 2*≠2 e 2 viene detto la parte standard dell’iperreale 2*: in notazione 2=st(2*). Più in generale, due iperreali x*e y* sono vicini x*≈y* se e solo se x*−y*=ε, cioè x*−y*≈0; ne consegue la completezza dell’insieme degli iperreali R* (ampliamento di R): ogni numero, standard o non, è vicino a un numero reale e si dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché x*≈y* è st(x*)=st(y*) e in particolare è x*≈0 se (e soltanto se) st(x*)=0. In questo modo l’insieme dei numeri reali viene arricchito da nuovi elementi che ne formano un ampliamento, ma in questa estensione vale anche il principio fondamentale che ciò che si dimostra vero nell’ampliamento n. è vero anche per il corrispondente modello standard.
Un altro notevole vantaggio delle definizioni n. è la semplicità della struttura logica che non richiede, a differenza della corrispondente definizione standard, l’alternarsi dei quantificatori universali-esistenziali dell’ε-δ meccanismo di Weierstrass, per es. la continuità di una funzione f in x segue semplicemente dall’essere f(x*)≈f(x).