politopo

In matematica, un p. nello spazio euclideo E_n a n dimensioni è l’analogo di un poligono nel piano e di un poliedro nello spazio. P. convesso è la parte di E_n racchiusa da un conveniente numero di iperpiani (almeno n+1) scelti in modo generico. In un p. si ha un certo numero N₀ di vertici e inoltre N₁ spigoli, e in generale N_j facce di dimensione j (0≤j≤n−1). I p. si classificano basandosi su tali numeri e inoltre sul fatto che le facce bidimensionali siano o meno poligoni dello stesso numero di lati, e studiando poi come queste facce si collegano reciprocamente per dar luogo alle facce di dimensione 3, e così via per le dimensioni superiori. Naturalmente, il caso più semplice si ha quando tutte le facce piane hanno lo stesso numero di lati e inoltre sono collegate tra loro nel medesimo modo; la struttura del p. è allora messa in luce dal simbolo di L. Schläfli, che, per i p. di E₃, consta di due sole cifre: la prima indica il numero dei lati costituenti una faccia e la seconda il numero delle facce che concorrono in un medesimo vertice; per es., per tetraedro e cubo si ha, rispettivamente, {3,3} e {4,3}. Semplice è la generalizzazione al caso di E_n: si tratta ora di un gruppo di n−1 numeri {p, q, r, s, …} i quali indicano che le facce tridimensionali del p. hanno p lati e che per ogni vertice ne passano q mentre per ogni spigolo passano r poliedri {p, q} e ogni faccia piana è situata su s p. 4-dimensionali {p, q, r} e così via. P. regolari sono i p. convessi nei quali non solo tutti gli spigoli sono uguali, ma anche tutte le facce piane sono poligoni regolari uguali, le facce 3-dimensionali poliedri regolari uguali e così via. In ogni p. regolare P esiste una sfera (detta sfera circoscritta al p.) che contiene tutti i vertici di P, come pure esiste una sfera tangente a tutti gli spigoli di P, un’altra tangente a tutte le facce 2-dimensionali ecc. … fino a una sfera tangente alle facce (n−1)-dimensionali (sfera inscritta nel p.): tutte queste sfere sono concentriche, hanno raggi decrescenti e toccano le facce di P nei rispettivi baricentri. Un’altra osservazione è che a ogni p. regolare P si può associare il p. duale, P*: si tratta del p. che ha come vertici i centri delle facce (n−1)-dimensionali di P, per spigoli i segmenti che congiungono non tutte le coppie di vertici di P ma solo quelle che sono baricentri di due facce (n−1)-dimensionali di P che si intersecano in una faccia (n−2)-dimensionale di P, e così via. Nel caso del piano euclideo E₂, ogni poligono è duale di sé stesso, mentre nello spazio ordinario E₃ è duale di sé stesso il solo tetraedro regolare, mentre il cubo e l’ottaedro sono duali l’uno dall’altro, e così il dodecaedro e l’icosaedro. Nello spazio euclideo a n dimensioni (n≥5) esistono tre soli tipi di p. regolari, che si richiamano rispettivamente al tetraedro, al cubo e all’ottaedro regolare dello spazio ordinario. Per n=4 a questi tre tipi se ne aggiungono altri tre.