incremento
Economia
I. di capitale (o patrimoniale) Accrescimento del valore economico di componenti del patrimonio realizzato al momento della vendita. Si distinguono l’i. nominale (o monetario) di capitale e l’i. reale di capitale, quest’ultimo depurato dagli effetti dell’inflazione. Altra distinzione importante a fini fiscali è tra i. di breve periodo (realizzato nell’anno) e i. di lungo periodo (➔ gain; plusvalenza).
Matematica
I. finito La differenza tra due valori di una variabile x indipendente o dipendente (esso è comunemente indicato con i simboli Δx, δx, h ecc.); il termine è sinonimo di variazione, in più o in meno, e non necessariamente di accrescimento. Accanto agli i. di questo tipo, si considerano anche gli i. infinitesimi, relativi cioè a due valori che tendono ad avvicinarsi al di là di ogni limite; la locuzione assume significato rigoroso soltanto mediante considerazioni di limite (➔ differenziale).
Scienze sociali
Indice di i. della popolazione La popolazione di un dato territorio può aumentare o diminuire con il trascorrere del tempo per svariati motivi e l’i. (o decremento) della sua consistenza può essere misurato variamente. Se l’ammontare della popolazione al tempo t viene indicato con Pt e quello al tempo t+Δt con Pt+Δt, allora l’i. assoluto viene valutato con la differenza ΔP=Pt+Δt−Pt. Qualora la popolazione sia conosciuta a intervalli di tempo di diversa ampiezza, allora l’indice precedente non si presta a effettuare comparazioni temporali proprio per la difformità degli intervalli: in tal caso si può usare l’i. assoluto medio annuo (nel caso che l’unità di misura temporale sia l’anno) della popolazione, calcolato come ΔPt/Δt=(Pt+Δt−Pt)/Δt. Su tale indice di i. ha tuttavia influenza l’ammontare della popolazione all’inizio di ciascun intervallo: infatti per una popolazione come quella mondiale o quella italiana, che nell’arco di due secoli è notevolmente aumentata, per rendere comparabili, per es., l’indice di i. all’inizio del 1800 con quello del 2001-11 occorre eliminare l’eterogeneità che deriva dalla diversa popolazione ai due periodi. Tale eterogeneità si elimina calcolando il saggio d’i. medio annuo relativo a ciascun abitante presente all’inizio del periodo considerato: ΔPt/PtΔt; oppure calcolando la popolazione media sull’intervallo P̄=(Pt+Pt+Δt)/2 (può usarsi anche la media geometrica P̄=√‾‾‾‾‾‾PtPt+Δt)‾‾‾‾ e individuando il saggio di i. medio annuo relativo, questa volta, a ciascun abitante presente in media sull’intervallo: ΔPt/P̄Δt. Per misurare il saggio di i., r, si può far ricorso anche alla considerazione che ogni nuovo abitante che si aggiunge alla popolazione iniziale contribuirà al suo i., e quindi se P0 è l’ammontare iniziale della popolazione, e si suppone che il saggio di i. resti costante nel tempo, in capo a un anno la popolazione sarà divenuta
P0 + rP0 = P0(1 + r);
in capo a due anni
P0(1+r)+P0(1+r) r=P0(1+r)2
e quindi dopo n anni la popolazione sarà
Pn=P0(1+r)n.
Naturalmente a seconda che r sia positivo o negativo la popolazione aumenterà o diminuirà. Questo saggio di i. composto annuo, che è stato determinato nel caso discreto, nel caso cioè che l’ammontare della popolazione sia conosciuto a tempi discreti, può essere ricavato, anche supponendo che l’ammontare della popolazione sia descrivibile con una funzione continua e derivabile P(t), dalla seguente equazione differenziale che acquista una rilevanza centrale nella teoria della popolazione di A. Lotka, e con opportune modificazioni conduce a scrivere l’equazione della teoria logistica della popolazione dP(t)=rP(t)dt e quindi P(t)=P(0) ert. Associato al concetto di saggio d’i. composto vi è quello, forse più suggestivo, di periodo di raddoppio della popolazione in corrispondenza di un dato saggio: per es., una popolazione si raddoppia in 140 anni se r=0,005, in 70 se r=0,010, in 35 se r=0,020 e in circa 18 se r=0,040. Una comoda e semplice formula, ricavabile dalla relazione 2P(0)=P(0) ertr, permette di calcolare il tempo di raddoppio come ln(2/r)=tr. In Italia il saggio di i. si è mantenuto dal 1800 a oggi su valori compresi tra 0,005 e 0,008.