quadrica

Superficie algebrica del secondo ordine. Sono q., per es., gli ellissoidi (di cui sono un caso particolare le sfere), i paraboloidi, gli iperboloidi.

L’equazione di una q. in coordinate cartesiane è del tipo a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0. Si hanno q. reali se i coefficienti a_rs di tale equazione sono numeri reali. Dei 10 coefficienti, soltano 9 sono essenziali, cosicché le q. costituiscono un sistema lineare ∞⁹ e per 9 punti in posizione generica passa una sola quadrica. Ogni sezione piana di una q. è una conica: se la sezione è eseguita con un piano tangente alla q., la conica ottenuta è spezzata in due rette.

Criteri di classificazione

Le q. dal punto di vista della geometria proiettiva. Le proprietà proiettive di una q. dipendono dalla matrice simmetrica

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄

A = a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ .

a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄

A seconda della caratteristica della matrice si ha: a) se A ha caratteristica 4, e cioè il suo determinante (che si chiama discriminante della q.) è diverso da zero, la q. si chiama generale. Una q. generale possiede solo punti semplici; supposto inoltre che la q. abbia punti reali, questi sono tutti ellittici se detA<0 e invece tutti iperbolici se detA>0. Ogni punto di una q. generale si trova su due rette distinte che costituiscono l’intersezione della q. con il piano a essa tangente nel punto: tali rette sono reali se il punto è iperbolico e complesse coniugate se è ellittico; b) se A ha caratteristica 3, la q. possiede un unico punto doppio ed è un cono con vertice in tale punto. Tutti gli altri punti sono parabolici: il piano tangente al cono in ciascuno di essi incontra il cono in due rette coincidenti nella generatrice per il punto; c) se la caratteristica di A è 2, l’equazione della q. può ridursi alla forma (ax+by+cz+d) (a′x+b′y+c′z+d′) = 0; la q. risulta perciò formata da 2 piani e ha come punti doppi quelli della retta comune ai 2 piani; d) infine, se A ha caratteristica 1 la q. ha equazione (ax+by+cz+d)² = 0 ed è ridotta a un piano considerato due volte.

Si dicono q. specializzate o degeneri le q. non generali, mentre si chiamano riducibili o spezzate quelle costituite da piani. Dati un punto P e una q. (non degenere), i coniugati armonici di P rispetto alle coppie di punti delle q. allineati con P stanno su un piano π che si chiama piano polare di P rispetto alla q. (P si dice anche polo di π); se P descrive una retta r, il piano polare di P descrive un fascio di piani avente per asse una retta r′ che si dice polare di r rispetto alla quadrica. Se P appartiene alla q. il piano polare di P coincide con il piano tangente alla q. in P.

Le q. dal punto di vista della geometria affine. Le proprietà affini delle q. sono quelle che non si perdono quando si sottoponga la q. a una qualsiasi trasformazione affine: in altre parole sono le proprietà proiettive della figura costituite dalla q. considerata unitamente al piano all’infinito. La ‘classificazione affine’ delle q. generali porta a distinguere ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi. Il piano improprio è esterno per gli ellissoidi, i quali non hanno perciò nessun punto reale all’infinito; i paraboloidi sono tangenti al piano improprio, e così lo intersecano lungo 2 rette che possono essere reali e distinte (nel paraboloide a sella) o complesse coniugate (nel paraboloide ellittico); infine, gli iperboloidi sono secanti rispetto al piano improprio, ossia lo intersecano lungo una conica non degenere dotata di punti reali. Si chiama poi centro di una q. il polo del piano all’infinito, mentre i diametri e i piani diametrali sono le rette e, rispettivamente, i piani passanti per il centro. I diametri sono anche le rette polari delle rette improprie e così i piani diametrali sono i piani polari dei punti impropri. Diversamente da quanto accade per le coniche, a ogni diametro si fa corrispondere non un diametro coniugato ma un piano diametrale, polare del punto improprio del diametro. Nel paraboloide il centro è un punto improprio e perciò i diametri sono paralleli. Viceversa nelle q. a centro (ellissoide e iperboloide), il centro è anche centro di simmetria per la superficie; inoltre ogni piano diametrale è un piano di simmetria rispetto alla direzione del diametro a esso coniugato.

I cinque tipi di q. a punti reali e non degeneri. Combinando i due criteri di classificazione ora esposti, si arriva a dimostrare che esistono 5 tipi di q. (reali) dotate di punti reali e non degeneri: le q. a punti ellittici, e cioè l’ellissoide reale, l’iperboloide a due falde, il paraboloide ellittico, e le q. a punti iperbolici, e cioè l’iperboloide a una falda, il paraboloide iperbolico (o a sella). Dei 5 tipi solo il 4° e il 5° contengono rette reali; esse costituiscono due sistemi ∞¹ di rette in modo che per ogni punto di una tale q. passa una retta di ogni sistema; esse si chiamano perciò q. rigate.

Proprietà metriche

Le proprietà metriche di una q. sono quelle che restano immutate quando si sottoponga la q. a un qualsiasi movimento. I principali enti geometrici relativi a una q. e aventi carattere metrico sono: a) asse: ogni diametro perpendicolare al piano diametrale coniugato: quest’ultimo prende il nome di piano principale della q.; b) vertici: sono i punti comuni alla q. e a un suo asse; c) coniche principali: sono le coniche sezioni della q. con i piani principali. Le q. a centro hanno 3 assi e 3 piani principali, mutuamente perpendicolari; i vertici sono 6 nell’ellissoide, 4 nell’iperboloide a una falda e due nell’iperboloide ellittico. Il paraboloide ha invece un solo asse, solo un vertice e 2 piani principali.