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quaternione

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Particolare tipo di numeri che rappresentano una generalizzazione dei numeri complessi.

I q. costituiscono un corpo non commutativo e un’algebra non commutativa sul campo dei numeri reali. Introdotti da W.R. Hamilton nel 1843, hanno trovato numerose applicazioni in vari campi della matematica. Nell’algebra dei q., che si indica per solito con il simbolo H ciascun q. ha la forma a+bi+cj+dk, dove a, b, c, d sono numeri reali e i, j, k sono le cosiddette unità immaginarie. L’addizione si definisce nel modo usuale, mentre la moltiplicazione si basa sulle seguenti relazioni i2=j2=k2=−1, ij=−ji=k; jk=−kj=i, ki=−ik=j. I q. formano così un corpo non commutativo. In ogni q. q=a+bi+cj+dk si distinguono una parte reale Req=a e una parte immaginaria Imq=bi+cj+dk. Benché il prodotto dei q. non sia in generale commutativo, esso è tale se le parti immaginarie dei q. che si moltiplicano differiscono per un fattore di proporzionalità reale; in particolare ciò avviene se uno dei due q. si riduce alla sola parte reale (ossia se è un numero reale). Si chiama q. coniugato di q e si indica con q̄ il q. Req−Imq, ossia a−bi−cj−dk.

Il prodotto qq̄ è il numero reale a2+b2+c2+d2, che si chiama norma di q e si indica con N(q). La norma del prodotto di due o più q. è uguale al prodotto delle norme dei fattori e poiché l’unico q. di norma nulla è lo zero, si conclude che nell’algebra H vale il principio di annullamento del prodotto. Anche il coniugato del prodotto di più q. è uguale al prodotto dei coniugati dei fattori, ma l’ordine dei fattori risulta invertito, cioè (‾‾‾‾‾‾‾ q1q2…qn)=q̄n…q̄2q̄1: ciò significa che il coniugio (ossia l’applicazione di H in sé stesso che a ogni q. associa il q. coniugato) non è un automorfismo, a differenza del caso dei numeri complessi.

Un’altra proprietà dell’algebra H è di essere un’algebra con divisione: ciò significa che le equazioni qx=q′ e yq=q′ hanno sempre soluzione purché sia q≠0. A tal fine si introduce il q. q̄/N(q), che si chiama inverso di q. e si indica con q–1 perché qq–1=q–1q=1. Un celebre teorema di G.F. Frobenius (1878) stabilisce anzi che l’algebra H è la sola algebra con divisione non commutativa sul campo reale R.

È stato osservato che è possibile assegnare 4 matrici quadrate 1, I, J, K tali che abbiano la stessa tabella moltiplicativa delle 4 unità 1, i, j, k dei quaternioni. La cosa è anzi realizzabile in più modi; una prima possibilità, scoperta da J.J. Sylvester, è:

formula

È stato dimostrato (da S. Bochner) che non esistono 4 matrici quadrate di ordine 3 la cui tabella moltiplicativa corrisponda a quella di 1, i, j, k, mentre per quelle di ordine 4 vi sono varie soluzioni; per es.:

formula

Le matrici di cui sopra hanno utilizzazione nella teoria quantistica e nella fisica atomica e precisamente nella teoria di Dirac delle equazioni d’onda relativistiche dell’elettrone.

Un risultato importante è che ogni equazione algebrica a coefficienti quaternionali ha sempre almeno una radice costituita da un q. (teorema di Eilenberg e Niven).

Il corpo H può ricevere una struttura topologica (basata sulla nozione di norma di un q.) diventando così uno spazio topologico, anzi, poiché le operazioni di somma e di prodotto in H risultano continue, un corpo topologico. Si tratta poi di un corpo topologico connesso e anche localmente compatto (cioè, nonostante H non sia compatto, tuttavia ogni suo punto ha un intorno la cui chiusura è compatta): l’importanza di questi caratteri sta nel fatto che essi garantiscono la validità dei teoremi fondamentali dell’analisi classica (per es., il teorema di B. Bolzano-K. Weierstrass) e quindi la possibilità di sviluppare un calcolo infinitesimale. Ebbene, un celebre teorema di L.S. Pontrjagin (1932) afferma che gli unici corpi topologici connessi e localmente compatti sono il corpo R dei numeri reali, il corpo C dei numeri complessi e il corpo H dei quaternioni.

Vedi anche
numeri ipercomplessi In matematica, i numeri a più di due unità. Come gli usuali numeri complessi x+i y (a due unità) si possono rappresentare mediante i punti P (x, y) del piano Argand-Gauss, così si pone il problema di assumere i punti dello spazio ordinario o di un iperspazio a rappresentanti di numeri a tre o più unità. ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ... struttura In senso ampio, la costituzione e la distribuzione degli elementi che, in rapporto di correlazione e d’interdipendenza funzionale, formano un complesso organico o una sua parte; è così chiamato anche il complesso stesso, o un suo componente, inteso come entità funzionalmente unitaria risultante dalle ... Giuseppe Peano Matematico (Cuneo 1858 - Torino 1932), prof. di calcolo infinitesimale alla univ. (dal 1890) e all'Accademia militare di Torino, socio nazionale dei Lincei (1929); uno dei maggiori matematici italiani moderni. Al nome di P. restano legati soprattutto la costruzione di un utile e rigoroso formalismo logico; ...
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
Tag
  • CALCOLO INFINITESIMALE
  • CORPO NON COMMUTATIVO
  • STRUTTURA TOPOLOGICA
  • EQUAZIONE ALGEBRICA
  • SPAZIO TOPOLOGICO
Altri risultati per quaternione
  • quaternione
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    quaternione in algebra, elemento della forma a + bi + cj + dk, dove a, b, c e d sono numeri reali e dove i, j, k sono dei simboli formali che soddisfano le seguenti relazioni: L’insieme dei quaternioni, indicato con il simbolo H, è un corpo non commutativo che estende il campo C dei numeri complessi ...
  • quaternione
    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
    quaternióne [Der. del lat. quaternio -onis, da quaterni (→ quaterna)] [ALG] Numeri che rappresentano una generalizzazione dei numeri complessi; il generico q di essi si rappresenta come q=a+bi+cj+dk, dove a, b, c, d sono numeri reali e i loro moltiplicatori, 1, i, j, k sono le unità dei q. (1 è l'unità ...
  • QUATERNIONI
    Enciclopedia Italiana (1935)
    Luigi Sobrero . I quaternioni, introdotti nella matematica verso la metà del secolo XIX dal matematico e astronomo irlandese Sir William Rowan Hamilton, costituiscono il primo notevole esempio di sistemi di numeri ipercomplessi o a più di due unità o, come oggi si suol dire, di algebre (v. immaginario). Un ...
Vocabolario
quaternióne
quaternione quaternióne s. m. [dal lat. tardo quaternio -onis, der. di quaterni «a quattro a quattro»]. – 1. In bibliologia e codicologia, fascicolo di 4 fogli (8 carte, 16 pagine), spec. nei codici, comunem. detto quaderno (come termine...
quaternionale
quaternionale agg. [der. di quaternione]. – In matematica, relativo ai quaternioni, di quaternioni: equazioni a coefficienti quaternionali.
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