approssimazione

In matematica, si chiamano metodi, o procedimenti di a. o, semplicemente, a., procedure alle quali si ricorre per rappresentare enti matematici (numeri, misure, funzioni ecc.) in modo non esatto, ma sufficientemente accurato per gli scopi perseguiti, in genere mediante enti più semplici. Così, per es., il numero irrazionale √2 può essere rappresentato dal numero decimale limitato 1,4142 che lo approssima a meno di 0,0001.

A. di uno spazio metrico

In termini rigorosi, si parla di a. con riferimento a uno spazio metrico, cioè un insieme in cui sia stata introdotta una nozione di distanza (➔). Dati due elementi x e y di uno spazio metrico E, diremo quindi che y approssima x a meno di ε, se d(x, y)〈ε, dove d(x, y) indica la distanza di x da y. Se y e z approssimano x e d(x, y)〈d(x, z) diremo che y approssima x meglio di quanto lo approssimi z. Se esiste un sottoinsieme E′ di infiniti elementi di uno spazio metrico E, tale che per ogni ε>0 vi è qualche x′∈E′ per cui d(x, x′)〈ε si dice che x è approssimabile mediante gli elementi di E′. Dato uno spazio metrico E, un suo elemento x e un suo sottoinsieme E′, si dirà che l’elemento y di E′ è la migliore a. di x in E′, se per ogni z di E′ si ha d(x, y)〈d(x, z). Naturalmente, non è detto che un tale y, di minima distanza da x, esista. Risultati particolarmente importanti, anche per le applicazioni, si ottengono quando E è uno spazio vettoriale normato (➔ spazio): in tal caso si parla del problema della migliore a. lineare.

Formule approssimate

Funzioni reali e derivabili possono essere rappresentate mediante formule approssimate, che in genere sono polinomi (se si vuole, con pochi termini) forniti dal relativo sviluppo in serie di Taylor o di Mac Laurin; altre funzioni, variabili e numeri, possono essere rappresentate approssimativamente mediante frazioni continue e prodotti infiniti. Si può ricorrere a procedimenti di tabulazione per avere valori approssimati di polinomi e di altre funzioni; si possono usare procedimenti grafici e numerici di iterazione per ottenere radici approssimate di equazioni e di sistemi di equazioni ordinarie, per eseguire approssimativamente operazioni di derivazione e di integrazione e per avere integrali approssimati di equazioni differenziali (➔ numerico, calcolo). L’enorme sviluppo che in questi ultimi decenni hanno avuto i mezzi automatici di calcolo ha portato al notevole progresso di alcuni metodi dedicati allo studio dell’a. di funzioni e dati, quali, per es., l’a. minimax, i polinomi di Čebyšev, le funzioni spline ecc.; per l’a. nell’ottimizzazione ➔ ottimizzazione.

Nei metodi di a. si comprendono, con significato alquanto diverso, procedimenti di a. analitica (ingl. curve-fitting), mediante i quali si individua una funzione (formula empirica) il cui diagramma meglio ‘approssima’, cioè riproduce con buona fedeltà, il diagramma rappresentativo di una distribuzione di dati sperimentali; appartengono a questa categoria anche i metodi di interpolazione e di estrapolazione.

Valori approssimati di una grandezza

Nelle applicazioni della matematica allo studio dei fenomeni naturali, la misura o valore di una grandezza viene di solito riferita a una grandezza fissa U (arbitraria), della classe cui essa appartiene e che si assume come unità di misura delle grandezze della classe. Per esaminare il procedimento di misurazione ci riferiremo, per semplicità, ai segmenti, ma considerazioni analoghe valgono per qualsiasi grandezza. Si abbia dunque un segmento l; per misurarlo lo si confronta con il metro e con una successione determinata di multipli e sottomultipli del metro. Questo confronto porterà successivamente a dire che il segmento l è compreso, per es., tra 3 e 4 m, tra 35 e 36 dm, tra 357 e 358 cm, tra 3576 e 3577 mm. Fermandoci a un certo punto del confronto, diremo che la misura del segmento è compresa tra 3576 e 3577 mm: diremo che ciascuno di questi due numeri dà una misura approssimata (o un valore approssimato) del segmento l, presumibilmente per difetto e per eccesso, rispettivamente. Nella risoluzione di un problema pratico, in genere, non occorre misurare direttamente tutte le grandezze considerate, perché le misure di alcune (che chiameremo grandezze derivate) si ricavano da quelle di altre (grandezze primitive) mediante opportune operazioni. Se delle grandezze primitive sono note soltanto misure approssimate, allora da queste è possibile dedurre misure convenientemente approssimate delle grandezze derivate (➔ errore).

A. successive

Metodo utilizzato per la risoluzione numerica di equazioni del tipo x=T(x), essendo x un elemento di uno spazio metrico completo, come per es. i numeri reali, e T una contrazione (➔). La soluzione dell’equazione, la cui esistenza e unicità è assicurata dal teorema delle contrazioni, può essere trovata come limite della successione x_n+1=T(x_n) a partire da un valore qualunque di x₀. I termini x_n rappresentano quindi a. successive della soluzione cercata. Esempi di applicazioni di questo procedimento sono il metodo delle tangenti per il calcolo delle radici reali di un’equazione e il metodo di Picard-Lindelöf per l’integrazione numerica delle equazioni differenziali ordinarie.