convergenza

Antropologia

Insieme di rassomiglianze e parallelismi esistenti fra elementi culturali elaborati da popolazioni differenti e lontane. Secondo la teoria della c. sostenuta nella seconda metà del 19° sec. da A. Bastian e R. Andree, ciò sarebbe dovuto alla fondamentale unità del pensiero umano (Elementargedanken) e, per conseguenza, all’uniformità delle sue reazioni di fronte a stimoli uguali. Con il progredire delle indagini etnologiche, la teoria della c. è stata abbandonata dai più in favore della teoria della diffusione (migrazione degli elementi culturali).

Biologia

fig. 1

C. evolutiva Analogia di struttura o di disposizioni organiche presenti in organismi che non discendono da progenitori comuni. I fenomeni di c. sono dovuti ad adattamento a un ambiente simile (fig. 1) come risultato della selezione naturale su mutazioni di geni diversi ma che controllano caratteri simili. Per es., la forma corporea dei Cetacei e degli Ittiosauri; varie piante grasse delle famiglie Vitacee, Composite, Euforbiacee, Cactacee e Asclepiadacee hanno conformazione esterna molto simile.

In embriologia, i movimenti di c. fanno convergere verso il labbro dorsale del blastoporo aree distribuite sulla superficie della blastula.

Economia

In un modello economico, tendenza delle variabili endogene a convergere verso i rispettivi valori di equilibrio, in un processo dinamico descritto con appropriate equazioni. Se nel sistema analizzato la principale variabile endogena è il reddito, il reddito tenderà a raggiungere il livello di equilibrio al trascorrere del tempo (per t→∞). La condizione di c. si distingue dallo sviluppo esplosivo e da altre dinamiche (oscillazioni regolari o esplosive ecc.).

Fisica

Per un sistema ottico centrato che abbia le due distanze focali uguali, è detta c. del sistema (positiva se questo è convergente, negativa se divergente) l’inverso della distanza focale; quando questa è misurata in metri, la c. si dice misurata in diottrie.

Linguistica

C. linguistica Il fenomeno del progressivo accostamento di due lingue, dipendente dal flusso di prestiti e calchi dall’una all’altra e viceversa. Molto forte è stata la c. grecolatina nell’età imperiale romana così come molto forte è la c. tra le varie lingue nell’Europa moderna.

Matematica

C. di una successione

Si dice che una successione a₁, a₂, ..., a_n, ... di numeri (reali o complessi) converge verso un limite a finito se, comunque si fissi un numero ε > 0, è possibile determinare un indice ν tale che per ogni n > ν risulti |a-a_n|〈ε; in simboli: lim _n→∞ a_n = a. In termini intuitivi ciò significa che, rappresentati i numeri ai della successione con altrettanti punti della retta reale (o del piano complesso), e fissato un intorno I comunque piccolo di a, ci sono infiniti punti rappresentativi che cadono dentro I e soltanto un numero finito che cade fuori di I (cioè lontano da a).

Un importante criterio di c. ( criterio di c. di Cauchy) è il seguente: condizione necessaria e sufficiente perché una successione a₁, a₂, ..., an, ..., converga a un limite a finito è che, comunque si prefissi un numero positivo ε, sia possibile determinare in conseguenza un indice ν tale che per ogni coppia di indici m, n maggiori di ν si abbia |a_m-a_n|〈ε. Il concetto di c. a un limite è d’importanza fondamentale in tutta l’analisi. C. di una serie numerica Si dice che una serie

∑^∞_r=1a_r è convergente e che S è la sua somma

se la successione delle sue somme parziali,

s_n = ∑_nr=1 a_r, converge a S. C. assoluta La serie anzidetta converge assolutamente se converge la serie formata con i valori assoluti dei suoi termini. C. di una serie di funzioni Si dice che una serie di funzioni (di variabile complessa) definita da ∑^∞_r=1 u_r (x) è convergente in un punto x₀ e che S (x₀) è la sua somma se la successione s_n (x₀) = ∑_nr=1 u_r (x₀) delle sue somme parziali, calcolate nel punto x₀, converge a S (x₀); si dice che è convergente in un dominio D se lo è in ogni punto di D. Un fatto notevolissimo è che il campo di c. di una serie di potenze ∑^∞_n=1 a_n xⁿ è sempre un cerchio (cerchio di c.) avente il centro nell’origine del piano complesso. In ogni punto interno al cerchio di c. la serie converge, in ogni punto esterno diverge; nei punti della circonferenza la serie può essere o convergente o divergente o indeterminata. Il raggio del cerchio di c. si chiama raggio di c. della serie data. Una serie si dice incondizionatamente convergente se essa resta convergente qualora si alteri, in un modo qualsiasi, l’ordine dei suoi termini; condizionatamente convergente in caso contrario. Infatti, la proprietà commutativa, valida per la somma di un numero finito di addendi, non si può estendere senz’altro al caso di una serie. La c. assoluta di una serie di funzioni si definisce come per le serie numeriche. C. uniforme La serie ∑^∞_n=1 u_n (x) sia convergente in ogni punto x di un dominio D e abbia per somma S(x). Scelto un numero σ positivo arbitrario, per ogni x si può determinare un indice n_x tale che, per n>n_x, risulti ∣ S(x)−∑_nk=1 u_k (x) ∣ 〈 σ. Se si può determinare un indice n₀, indipendente dalla scelta di x nel dominio D, tale che per n>n₀ si abbia ∣ S(x)−∑_nk=1 u_k (x) ∣ 〈 σ qualunque sia x in D, la serie si dice uniformemente convergente in D. La c. uniforme nel senso di Weierstrass (1841) è concetto di grande importanza: infatti le serie uniformemente convergenti possono essere trattate, in un certo senso, alla stessa stregua di una somma ordinaria (valgono per esse teoremi sul limite, la derivazione e l’integrazione in tutto simili a quelli validi per un’ordinaria somma di funzioni; ➔ serie).

Calcolo delle probabilità

Nel calcolo delle probabilità si considerano spesso successioni {Xn} di variabili casuali; a tali successioni si estende il concetto di c., o tendenza al limite, dell’analisi matematica. Si tratta di definire il limite della successione, cioè una variabile casuale alla quale le variabili casuali della successione si accostano sempre di più quando n cresce indefinitamente. Naturalmente, occorre chiarire che cosa s’intende per ‘accostarsi’; e poiché a tale espressione intui;tiva si possono dare parecchi significati, a ogni significato corrisponde una diversa definizione di c., con diverse proprietà. C. in distribuzione Date le variabili casuali a una dimensione X_n (n = 1, 2, ...) e X, con funzioni di ripartizione rispettivamente F_n (x) e F (x), si dice che X_n converge (o tende) in distribuzione a X se si ha

lim _n→∞ F_n (x)=F(x) in ogni punto x in cui F (x)

è continua. La definizione si estende al caso di più dimensioni. C. in probabilità La c. in distribuzione assicura che la variabile casuale X_n tende a essere somigliante alla X (ad avere cioè la stessa funzione di ripartizione) ma non necessariamente uguale. Ciò viene dato invece dalla c. in probabilità, che appare così la definizione di c. più naturale per le variabili casuali. Si dice che X_n converge (o tende) in probabilità a X se, per ogni ε>0,

lim _n→∞ Pr{|X_n−X|〈ε}=1. Dalla c. in probabilità segue la c. in distribuzione; il viceversa non è vero, tranne nel caso che la variabile casuale limite sia costante. In tale caso i due concetti di c. sono equivalenti. C. con probabilità uno Si dice che X_n converge con probabilità uno (o quasi certamente) a X se Pr{X_n→X} = 1; in altre parole se, fissato ε>0 arbitrario, vale la relazione:

lim _n→∞ Pr{|X_n−X|〈ε,|X_n+1−X|〈ε,…}=1.

Inoltre, se X_n tende a X con probabilità uno, vi tende anche in probabilità; l’inverso, in generale, non è vero. C. quasi completamente certa Una successione X_n converge quasi completamente certamente a X se ogni successione X_n′ di variabili casuali somiglianti alle X_n converge quasi certamente. Tale c. comporta evidentemente la c. quasi certa; viceversa dalla c. quasi certa segue la c. quasi completamente certa se le variabili casuali X_n sono indipendenti.

C. in media di ordine r Per r>0 si dice che X_n converge a X in media di ordine r

(o in media erresima) se lim _n→∞ E(|X_n−X|^r)=0;

ha particolare importanza la c. in media quadratica (r = 2), che si basa su media e varianza. Dalla c. in media segue la c. in probabilità; il viceversa non è vero in generale. La c. in media non è sufficiente ad assicurare la c. quasi certa. Teorema centrale di c. Sia {X_n} una successione di variabili casuali indipendenti, ciascuna con media 0 e varianza finita σ²_n; poniamo

S_n = ∑_ni=1 X_i. Esaminiamo le condizioni sotto le quali S_n è asintoticamente normale, cioè la variabile casuale standardizzata S_n/σ (S_n) tende in distribuzione a una variabile casuale di media 0 e varianza 1. Un primo risultato è: se le X_n sono somiglianti (hanno cioè la stessa distribuzione), allora Sn è asintoticamente normale. Questo risultato, enunciato da A. De Moivre nel 1732, contiene come caso particolare la c. della distribuzione di J. Bernoulli: il numero A_n di realizzazioni di un evento, di probabilità costante p, in n prove indipendenti, è asintoticamente normale con media n p e varianza n p q. Se non si fa l’ipotesi di somiglianza per le X_n, vale il teorema di A.L. Ljapounov (che generalizza quello di Laplace-Gauss): se, per un δ > 0,

lim _n→∞ [σ²(S_n)]^−1−δ/2] − ∑_n1i E(|x_i|^2+δ) = 0

allora S_n è asintoticamente normale. Altre condizioni affinché S_n sia asintoticamente normale sono state trovate da J.W. Lindeberg e W. Feller.

Medicina

In oculistica, la funzione o l’atto con il quale si dirige lo sguardo da un punto a un altro più vicino. Si chiama angolo di c. relativo a un certo oggetto l’angolo formato dalle congiungenti l’oggetto in questione con i centri delle pupille. Si usa valutare la c. dell’occhio in angoli metrici (simbolo: A.M.), intendendosi che l’angolo metrico unitario sia la metà dell’angolo di c. relativo a un oggetto distante 1 metro.

Meteorologia

L’affluire di aria, da tutte le direzioni, verso zone di bassa pressione.

Trasporti

fig. 2)

Negli autoveicoli, al fine di favorire il mantenimento della direzione rettilinea durante la marcia, le ruote anteriori non sono parallele, ma leggermente convergenti in avanti: si chiama c. la differenza (qualche mm) delle distanze posteriore d₁ e anteriore d₂ tra i bordi interni (o esterni) dei cerchioni delle due ruote, misurate nel piano orizzontale passante per i centri delle ruote stesse (fig. 2).