légge di scala
légge di scala Locuzione con cui si fa riferimento alle leggi che, per i sistemi regolari, sia matematici sia fisici e naturali, caratterizzano il cambiamento delle proprietà del sistema sotto l'effetto di una trasformazione della scala delle lunghezze e rappresentano un elemento essenziale per la comprensione della 'complessità' del sistema stesso.
Abstract di approfondimento da Leggi di scala di Luciano Pietronero (Enciclopedia della Scienza e della Tecnica)
Le leggi di scala riguardano il comportamento di una struttura in funzione della scala da cui la si guarda. Per i sistemi regolari, sia matematici sia fisici e naturali, il sistema a grande scala è, in genere, molto diverso da quello a piccola scala. Per esempio, la Terra è un punto rispetto alla scala galattica, poi se ci si avvicina appare come una sfera, dopo ancora come una superficie quasi piana, in seguito appaiono i rilievi montuosi e le coste, poi le città, e così via. Le strutture matematiche usuali sono, in genere, molto più semplici e perdono struttura alle scale molto piccole. Per esempio, una sfera può essere approssimata dal suo piano tangente. Questa perdita di struttura è estremamente importante dal punto di vista matematico, perché corrisponde alla proprietà di regolarità o analiticità che è alla base di gran parte dei metodi matematici tradizionali, come la possibilità di formulare un problema in termini di equazioni differenziali. Il concetto di derivata implica infatti la regolarità a piccola scala. Le leggi di scala acquistano particolare importanza nei sistemi con proprietà di invarianza rispetto al cambio della scala. Questa è una caratteristica di molti dei sistemi complessi su cui si è focalizzata l’attenzione negli ultimi anni, sia in fisica sia in altre discipline.
A partire dalla struttura stessa dell’Universo a grande scala, passando per le complesse forme delle strutture biologiche, fino alle interazioni elementari tra i costituenti fondamentali della materia, tutti questi sistemi mostrano ben definite leggi di scala. Queste leggi caratterizzano il cambiamento del sistema sotto l’effetto di una trasformazione della scala delle lunghezze, e rappresentano un elemento essenziale per la comprensione della complessità del sistema. L’approccio tradizionale della fisica è quello di considerare i sistemi più semplici e di studiarli in grande dettaglio. Questo approccio riduzionistico si focalizza sui mattoni elementari che costituiscono la materia, si applica a un gran numero di situazioni e implica necessariamente l’esistenza di scale caratteristiche: la dimensione di un atomo, di una molecola o di un oggetto macroscopico. Esistono però molti casi in cui la situazione è completamente diversa, nei quali la conoscenza dei singoli elementi non è sufficiente a caratterizzare la struttura nel suo insieme. Infatti, quando moltissimi elementi interagiscono tra loro in modo non lineare, possono dar luogo a strutture complesse, le cui proprietà non possono essere ricondotte a quelle dei singoli costituenti. In questi casi possiamo pensare a una sorta di architettura della materia e della Natura, che pur dipendendo in qualche modo dalle proprietà dei singoli elementi, possiede caratteristiche e leggi fondamentali che non possono essere ricollegate a quelle dei singoli costituenti. Una di queste proprietà fondamentali è rappresentata appunto dalle leggi di scala.
Transizioni di fase e fenomeni critici
I concetti di invarianza di scala e autosomiglianza si sono sviluppati originariamente nello studio delle transizioni di fase. Questo problema riguarda sistemi con un gran numero di elementi, atomi o spin, che interagiscono in modo tale che esiste una tendenza all’ordine. Nel caso degli atomi, questo stato ordinato può essere rappresentato da una struttura cristallina periodica, mentre per gli spin lo stato ordinato è quello in cui tutti gli spin sono orientati nella stessa direzione. Questa tendenza all’ordine è in competizione con l’effetto della temperatura e dell’entropia, che tendono invece a rendere il sistema disordinato. Si ha quindi la fase ordinata a bassa temperatura e quella disordinata ad alta temperatura. Questo cambio di fase accade in modo drasticamente discontinuo nelle transizioni di fase più comuni, come quella tra solido e liquido, che vengono dette transizioni del primo ordine. In vari altri casi, però, la transizione è marginalmente continua e viene definita del secondo ordine, o critica. Questo tipo di transizioni, pur non essendo molto comuni, hanno avuto un’enorme importanza concettuale nello sviluppo delle leggi di scala. Infatti, in prossimità della temperatura di transizione o critica varie quantità termodinamiche mostrano un comportamento a legge di potenza con esponenti non interi. Questi comportamenti non potevano essere spiegati con le teorie ordinarie e hanno portato allo sviluppo di nuovi concetti, come le leggi di scala e il gruppo di rinormalizzazione.
Il modello più semplice e più studiato che mostra queste proprietà è il modello di Ising, che consiste in un reticolo in cui a ogni vertice è definito uno spin che può avere solo due orientazioni (su o giù). Ogni spin interagisce con i suoi primi vicini con un’interazione ferromagnetica, che tende ad abbassare l’energia totale del sistema se due spin vicini sono allineati. Questa tendenza all’ordine compete con la temperatura, che tende invece al disordine. Questo semplicissimo modello mostra un comportamento sorprendentemente complesso nelle vicinanze del punto critico. A causa di queste proprietà questo modello ha rappresentato per due decenni, gli anni Settanta e Ottanta del secolo scorso, la palestra fondamentale per lo studio dei fenomeni critici sia dal punto di vista teorico sia delle simulazioni numeriche.
Nella fig. possiamo osservare tre diverse configurazioni di un modello di Ising in due dimensioni corrispondenti a diverse temperature. L’orientazione degli spin (su o giù) è caratterizzata dai due differenti colori azzurro e rosso. In A il sistema è nella fase disordinata ad alta temperatura. Prevale il disordine e le interazioni tra gli spin generano soltanto delle correlazioni a piccola scala con una lunghezza caratteristica. Le due configurazioni rossa e azzurra sono simmetriche e si ha circa lo stesso numero di spin orientati nelle due direzioni. L’orientazione media (magnetizzazione) è quindi nulla. Possiamo analizzare come questa struttura si comporta rispetto a un cambiamento di scala, esaminando una trasformazione a blocchi. Consideriamo un quadrato che ha tre spin per lato, in totale conterrà dieci spin, incluso quello centrale. Questo blocco di dieci spin viene quindi sostituito da un singolo spin il cui valore è dato dalla regola della maggioranza. Il sistema così ottenuto ha un’estensione lineare tre volte più piccola di quello originale ed è mostrato nella parte centrale della fig. A. Ripetendo l’operazione si ottengono poi altri quadrati più piccoli di un fattore tre, e così via. Come si può vedere, la grandezza delle strutture diventa più piccola proporzionalmente con la riduzione della scala. Abbiamo infatti menzionato che questo sistema ha una lunghezza di correlazione caratteristica e questa viene ridotta di un fattore tre ogni volta che facciamo la trasformazione a blocchi. In C osserviamo invece il sistema a bassa temperatura. In questo caso il sistema rompe la simmetria tra zone azzurre e rosse, e l’azzurro prevale; in termini magnetici si ha una magnetizzazione spontanea. Ciò è accaduto in modo casuale, avrebbe potuto prevalere il rosso con uguale probabilità. In questo caso le zone rosse si estendono fino a una certa scala definita dal valore della temperatura. La trasformazione a blocchi elimina man mano le zone rosse e, asintoticamente, il sistema diventa perfettamente azzurro. In B il sistema si trova esattamente alla temperatura critica. Nessuna delle due orientazioni prevale ancora, ma si sviluppano le fluttuazioni critiche. Questo significa che la lunghezza di correlazione è infinita e si hanno strutture a tutte le scale, sia per le zone rosse sia per quelle azzurre. In questo caso la trasformazione di scala lascia il sistema statisticamente invariato. Ciò è evidenziato dal fatto che le strutture che si osservano nei quadrati centrali (corrispondenti a trasformazioni di scala) sono indistinguibili da quelle del sistema originario.
Questa situazione ha ispirato lo sviluppo del cosiddetto gruppo di rinormalizzazione, che corrisponde a una teoria di nuovo tipo che permette di calcolare gli esponenti critici e quindi di descrivere le proprietà non analitiche di queste strutture. Un aspetto particolarmente importante di un sistema con proprietà di invarianza di scala è la sua universalità. Come si può vedere dalla fig. il procedimento di trasformazione a blocchi tende a eliminare molti dettagli e lascia solo le proprietà globali delle correlazioni del sistema. Una conseguenza di questo fatto è che sistemi apparentemente diversi a una certa scala possono convergere alle stesse proprietà statistiche dopo un certo numero di queste trasformazioni. In questo caso si dice che i due sistemi appartengono alla stessa classe di universalità e avranno precisamente gli stessi esponenti critici. Il concetto di universalità è molto importante anche dal punto di vista sperimentale perché, anche se un sistema reale è diverso dal modello teorico semplificato, esso ne rappresenta fedelmente le proprietà, se essi sono della stessa classe.
Una differenza fondamentale tra le strutture autosomiglianti caratteristiche dei fenomeni critici e le strutture frattali che si osservano in natura è che le prime appaiono solo nelle immediate vicinanze della temperatura critica, mentre le seconde hanno un regime di stabilità molto più vasto e, in questo senso, sono autoorganizzate. Ciò pone la questione dell’identificazione dei processi fisici che generano strutture di questo tipo e della loro stabilità, un problema che è stato ampiamente studiato negli anni Ottanta e Novanta e che ha dato luogo allo sviluppo di modelli fisici che, a partire da un’interazione definita solo a livello microscopico, producono spontaneamente strutture frattali con correlazioni a tutte le scale. Una caratteristica di questi modelli dinamici basati sull’interazione di un processo microscopico è quello dell’autoorganizzazione, cioè il fatto che la struttura complessa viene generata spontaneamente ed è relativamente stabile rispetto ai parametri del sistema. Questa proprietà rende tali processi di crescita molto diversi dai fenomeni critici, che invece mostrano invarianza di scala solo per particolari valori dei loro parametri.