Gauss, Karl Friedrich
Matematico, fisico, astronomo e geodeta tedesco (Brunswick 1777 - Gottinga 1855), considerato uno dei più grandi genî scientifici di tutti i tempi. Taluni aneddoti su G. fanciullo testimoniano di una sua eccezionale capacità aritmetica (avrebbe risolto in pochi secondi il problema di trovare la somma dei numeri interi da 1 a 60, "scoprendo" e immediatamente applicando la formula che dà la somma di un numero finito di termini di una progressione aritmetica). Certo è che all'università di Gottinga (1794-98) e nell'anno successivo, a Helmstädt, dove si giovò dei consigli di H. Pfaff, predilesse le ricerche di alta aritmetica. Frutto di dette ricerche fu la prima dimostrazione rigorosa (1799) del teorema chiamato teorema fondamentale dell'algebra o teorema di d'Alembert. Due anni dopo, ritornato a Brunswick, pubblicava l'opera monumentale della sua giovinezza: le Disquisitiones aritmeticae (1801), il primo trattato moderno di teoria dei numeri, che gli procurò di colpo un posto eminente nel mondo scientifico. Fra i contributi essenziali e nuovi ricordiamo la legge di reciprocità dei residui quadratici, la dimostrazione dell'esistenza delle radici primitive di un numero primo, la celebre condizione necessaria e sufficiente cui devono soddisfare i fattori primi di un numero n perché la divisione della circonferenza in n parti uguali (ciclotomia) possa effettuarsi con la riga e il compasso. Il metodo usato da G. precorre di un trentennio le ricerche, più generali, di E. Galois sulle equazioni algebriche risolubili per radicali. Già nel 1794, a soli 17 anni, ancor prima di entrare all'università, G. aveva ideato il "metodo dei minimi quadrati"; lo applicò, tra il 1801 e il 1806, allo studio delle orbite di piccoli pianeti appena allora scoperti (Cerere, Pallade, Giunone) e di comete apparse in quegli anni (comete del 1805). Fu nominato nel 1807 direttore dell'osservatorio e professore di astronomia a Gottinga (città che faceva allora parte del ducato di Brunswick), cariche che ricoprì fino alla morte. A G. possiamo far risalire quel "primato matematico" dell'università di Gottinga in Germania, che si manterrà fino a David Hilbert. Nel 1809 pubblicò il grande trattato Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium e nel 1813 la memoria sulle perturbazioni secolari dei pianeti. Il trattato è una teoria completa del moto dei corpi del sistema solare, che sviluppa non solo il caso delle orbite ellittiche, ma anche quelli delle orbite iperboliche e paraboliche. Un problema incontrato in questa ricerca portò G. a studiare le serie ipergeometriche. Per molti anni G. collaborò alla preparazione scientifica e tecnica di operazioni geodetiche (misura del grado del meridiano danese, misura dell'arco di meridiano tra Gottinga e Altona). Da questi problemi pratici G. fu condotto, da una parte, all'invenzione di un nuovo e ingegnoso strumento geodetico e al perfezionamento del metodo dei minimi quadrati per la correzione degli errori, dall'altra a elevate ricerche geometriche. È infatti partendo dal problema della cartografia che G. elabora due nuove teorie: la teoria della rappresentazione conforme delle superfici (delle rappresentazioni cioè che non alterano gli angoli), completata nella memoria che vinse il concorso bandito dalla Società delle scienze di Copenaghen (1822); la geometria intrinseca, nuovo e fecondo ramo della geometria. G. considerò le superfici come veli sottilissimi, che si possono curvare e deformare a piacere, senza però dilatarle né lacerarle, e studiò le grandezze, legate alla superficie, che rimangono invariate quando la superficie viene così deformata, trovando, per es., che è invariante la cosiddetta curvatura totale o di G. (Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828). Col 1828 iniziò a Berlino e proseguì poi a Gottinga (dal 1831 in collaborazione con W. Weber) un nuovo periodo di attività scientifica di G., che s'incentra intorno alla scoperta (1830) del principio meccanico detto "del minimo sforzo" o "della minima costrizione", alla formulazione (1830) dei Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibri e alle ricerche sul magnetismo terrestre. A queste G. dedicò un'intensa attività fondando (1833) un osservatorio magnetico, in cui ebbe parte attiva nelle misurazioni inerenti alla declinazione magnetica, promuovendo iniziative analoghe in altri paesi e costituendo il Magnetischer Verein, i cui risultati erano raccolti in un periodico diretto da lui e dal Weber. È del 1836 la memoria Erdmagnetismus und Magnetometer, del 1837 l'invenzione di un magnetometro bifilare, del 1839 la memoria Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus. A questa fece seguire un atlante sul magnetismo terrestre e, quasi a coronamento di così lunga e appassionata attività, i teoremi generali relativi alle azioni fra poli magnetici, tra i quali le proposizioni fondamentali della teoria del potenziale, legati al suo nome. Si occupò anche del problema della telegrafia elettromagnetica, e si deve al contributo suo e del Weber se più tardi (con K. A. Steinheil e V. Matteucci) tale problema poté trovare una soluzione pratica. Attese alla risoluzione di varie questioni di diottrica, progettando un doppio obiettivo acromatico, ideando e facendo realizzare particolari tipi di oculari e pubblicando (1840) le Dioptrische Untersuchungen, ove sono raccolti i risultati da lui ottenuti in questo campo, nel quale il nome di G. resta specialmente legato a una fondamentale teoria elementare sulla formazione delle immagini date da un sistema diottrico, che è valida sotto certe limitazioni (limitazioni, approssimazioni di G.) per il fascio dei raggi incidenti. Successivamente G. riprese e approfondì le sue ricerche di geodesia e di geometria. Ricordiamo l'interpretazione geometrica dei numeri complessi come punti del pianosfera (piano di Argand-G.) e i suoi appunti - che mai volle pubblicare - contenenti la dimostrazione di alcuni importanti teoremi di una geometria che egli denominò in un primo tempo "anti-euclidea" (geometria non euclidea). G. temeva le "strida dei beoti" (come egli scrisse in una lettera a F. W. Bessel), cioè le critiche dei filosofi sostenitori della concezione kantiana dello spazio e le irrisioni della cultura tradizionale e del "senso comune", e tenne perciò segrete le sue idee. Per questo motivo, e anche per la incompletezza degli sviluppi trovati nei suoi quaderni, non appare storicamente esatto fare di G. il fondatore della geometria non euclidea, della quale è da considerare piuttosto come un precursore volontariamente isolato. Ricordiamo alcuni dei numerosi risultati che portano il nome di Gauss.
Approssimazioni (o condizioni, o limitazioni) di Gauss. - Nell'ottica geometrica, sono le condizioni cui deve obbedire un sistema ottico centrato perché esso risulti stigmatico e ortoscopico: precisamente, occorre che i raggi abbiano piccola vergenza e che il sistema abbia piccola apertura (v. sistema: Sistema ottico).
Curva di Gauss (o anche curva degli errori, degli errori accidentali, o delle probabilità). - Curva a campana, di equazione
dove h è un parametro con significato particolare da problema a problema (v. anche errore; probabilità).
Distribuzione di Gauss: v. distribuzione: Statistica.
Funzione di Gauss. - La funzione
che ammette lo sviluppo in serie uniformemente convergente
la sua derivata, divisa per 2,
dà col suo diagramma la curva di G. per h = 1.
Indicatore di Gauss (o di Eulero-G.). - La funzione aritmetica ϕ(n), con n variabile intero, che assegna il numero dei numeri interi inferiori ad n e primi con n.
Integrale di Gauss. - Portano questo nome due integrali di natura diversa: a) L'integrale
esso è assolutamente convergente e il suo valore è:
b) Un particolare integrale che dà, a meno del fattore 4π, l'indice di allacciamento di due linee chiuse, λ, μ, giacenti nello spazio ordinario e prive di punti comuni (v. concatenato); precisamente, tale indice è:
dove W = W(P) è l'angolo solido sotto il quale la curva λ è vista da un punto P, ad essa non appartenente (W è in altre parole l'area racchiusa, sulla superficie sferica di centro P e raggio 1, dalla linea λ′ ottenuta proiettando da P, sulla sfera, la linea λ).
Interi di Gauss. - Sono i numeri complessi a + ib, con la parte reale a e il coefficiente dell'immaginario b interi. Essi formano un dominio d'integrità, insieme di numeri che gode delle proprietà formali dell'insieme dei numeri interi (v. dominio: Matematica). G. estese ad essi l'ordinaria teoria della divisibilità tra numeri interi.
Lemma di Gauss (detto anche lemma di Green). - Nel calcolo integrale, formula di corrente impiego per la trasformazione di un integrale, esteso ad una superficie piana σ, in un integrale esteso al suo contorno s:
ove f(x1, x2) è una funzione uniforme limitata e continua insieme con le sue derivate parziali prime rispetto alle coordinate x1, x2; n è la normale a s da intendersi orientata verso l'interno. Analogamente per la trasformazione di un integrale esteso a un volume V in un integrale esteso alla superficie S che limita V:
Metodo di misurazione di Gauss. - Il metodo ottico di misurazione "del cannocchiale e scala", detto comunemente di Poggendorff (v.), è detto da taluni di Gauss.
Metodo di Gauss della doppia pesata: v. bilancia: Bilance per la misurazione di masse e di pesi.
Metodo magnetometrico di Gauss. - Realizzato da G. e poi perfezionato da J. Lamont, ma proposto da S.-D. Poisson, per la misurazione assoluta, mediante il magnetometro ad ago, della componente orizzontale dell'intensità del campo magnetico terrestre (v. magnetometro).
Numeri primi di Gauss. - Hanno la forma p = 2m + 1 con m potenza di 2. I numeri di G. noti sono 3, 5, 17, 257, 65537; non si sa ancora se ne esistano altri. G. dimostrò che un poligono regolare con p lati (p numero primo) si può costruire con la riga e il compasso se, e soltanto se, p è della forma indicata.
Principio di Gauss del minimo sforzo (o della minima costrizione vincolare). - Uno dei principî variazionali della meccanica (v. meccanica: Meccanica analitica).
Principio della media di Gauss. - Il valore più probabile di una grandezza è la media aritmetica dei valori ottenuti in più misurazioni (v. errore).
Sistema di misure di Gauss. - Sistema di unità di misura la cui introduzione si può considerare dovuta a G. e a W. Weber; detto anche sistema simmetrico, consiste nell'adottare le unità CGSes per le grandezze elettrostatiche e le unità CGSem per quelle elettromagnetiche: v. unità.
Teorema di Gauss. - Uno dei teoremi fondamentali nella teoria dei campi vettoriali. Riguarda i campi newtoniani, o coulombiani, cioè quelli il cui vettore è, punto per punto, il risultante di vettori del tipo v = k q r/r3, essendo k una costante, q l'intensità della generica sorgente del campo (per es., il valore della massa se il campo è quello attrazionale di punti materiali), r la distanza, orientata fra la sorgente e il punto considerato. Il teorema afferma che il flusso di v uscente da una qualunque superficie chiusa S vale
essendo Σqi la somma algebrica delle sorgenti interne a S e ΣqS la somma algebrica delle sorgenti localizzate in punti (non singolari) di S. Il teorema ha particolare rilevanza in elettrostatica; k è in tal caso la costante di Coulomb, le q sono cariche elettriche, e la [1], quando si escludano cariche localizzate in punti di S e si convenga di usare un sistema razionalizzato di unità di misura, per es. il sistema internazionale (SI), si scrive:
essendo E l'intensità del campo elettrico ed εo la costante dielettrica assoluta del vuoto. Le cariche qi che vanno considerate nella [2] sono tutte le cariche interne a S: quelle che per così dire "generano" il campo, quelle che si destano per induzione sulla superficie di conduttori, quelle che per polarizzazione si destano in dielettrici esposti al campo. Se si vuol limitare la considerazione alle sole cariche vere qi* vale a dire se si vogliono escludere le cariche di polarizzazione, introdotto il vettore induzione elettrica, D = ε E, la [2] si muta nella relazione
che è la forma abituale con cui il teorema di Gauss viene usato nell'elettrostatica. A norma del teorema della divergenza, la [3] può poi essere sostituita dalla relazione differenziale
div D = ρ ,
ρ essendo la densità della carica elettrica vera; il teorema di G. in tale forma costituisce, com'è noto, una delle equazioni di J, C. Maxwell dell'elettromagnetismo.